7) Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], причем ϕ(α)=a, ϕ(β)=b и значения функции ϕ(t) не выходят за пределы отрезка [a;b], когда t ϵ [α;β]. Тогда

x	a	b
t		β

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной ( методом подстановки) делать обратную замену переменной не требуется, а нужно только сделать пересчет пределов интегрирования, который мы будем оформлять в виде таблички

Интегрирование по частям.

Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то

|^b_a-

7)Понятие определенного интеграла

Понятие определенного интеграла функции , заданной на отрезке [a;b], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция определенного интеграла включает в себя следующие три момента. 1.Разиваем отрезок [a;b] точками x₁на части:

Обозначим через отрезки , а также их длины . Выберем точки Получим отмеченное разбиение. 2. По отмеченному разбиению составляем интегральную сумму функции f(x);

Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, в основании которых лежат отрезки , а высоты равны если «Мелкость» разбиения измеряется диаметром разбиения d=max_i , т.е. длиной наибольшего отрезка разбиения.

Определенным интегралом от функции по отрезку [a;b], или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:

Если указанный предел существует независимо от выбора отмеченных разбиений, то функция f(x) называется интегрируемой(по Риману). Можно доказать, что если функция ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва, то она интегрируема.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что равен площади криволинейной трапеции, лежащей над отрезком [a;b] и ограниченной сверху (если графиком функции .

8. Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁; t₂], причем φ([t₁; t₂])=[a; b] и φ(t₁)=a, φ(t₂)=b, то справедлива формула:

при вычислении определенного интеграла методом подстановки (замены переменной) делать обратную замену не надо, нужно только пересчитать пределы интегрирования.

9. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом: