Механическая система

Механическая система- совокупность материальных точек:  - движущихся согласно законам классической механики; и  - взаимодействующих друг с другом и с телами, не включенными в эту совокупность.

Механическими системами являются:  - материальная точка;  - математический маятник;  - абсолютно твердое тело;  - деформируемое тело;  - сплошная среда.

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

.

Системой или системой материальных точек называется такая их совокупность, при которой изменение положения одной из точек вызывает изменение положения всех остальных.

1)Внешние силы- силы, действующие на материальную точку системы со стороны тел не входящих в состав данной механической системы.

Внутренние силы- силы, действующие между материальными точками данной механической системы.

Силы заданные по условию задачи принято называть- активными силами. А силы, обусловленные наличием связи- реакциями связи.

Дифференциальные уравнения движения механической системы.

Для несвободной системы материальных точек на каждую точку действует активная сила и реакция связи Произведём следующую замену где соответственно и - внешняя и внутренняя силы, действующие на точку К. Тогда в соответствии с основным уравнением динамики материальной точки для каждой из N точек системы запишем следующие уравнения:

Это дифференциальные уравнения движения механической системы в векторном виде. Проецируя их на оси декартовой системы координат, получим 3N дифференциальных уравнений второго порядка. Для нахождения законов движения механической системы необходимо дважды проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (3.59), при этом необходимо знать зависимости сил, стоящих в правой части уравнений от координат точек, их скоростей и времени, а затем, зная начальные условия движения, определить постоянные интегрирования.

27. Уравнения поступательного и вращательного движений твердого тела. Принцип Даламбера для механической системы.

Второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение   и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела  , равно импульсу момента  всех внешних сил, действующих на это тело.

Используя уравнения:

 и  ,

можем записать или ma_c = F

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе. В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью  , равной скорости   центра инерции тела, и вращения вокруг центра инерции. Поэтому последнее уравнение часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.

Принцип Даламбера применяется для решения задач динамики несвободных механических систем.

Формулировка принципа: если к каждой точке несвободной механической системы помимо действующих активных сил и сил реакций приложить условную силу инерции, то образованная система сил будет уравновешенной.

Принцип Даламбера позволяет уравнениям динамики придать форму уравнений равновесия статики.

Уравнения принципа Даламбера для конкретной системы зависят от того, как расположены приложенные к этой системе силы ( активные, силы реакции и силы инерции ).

Уравнения принципа Даламбера имеют вид:

● если все силы сходятся в одной точке

,

,                                   (5.1)

;

● если силы произвольно расположены в одной плоскости

,

,                                     (5.2)

;

● если силы расположены в произвольной пространственной системе

 

,

,

,                                 (5.3)

,                     

,

,

где   – активная сила, приложенная к  -й точке;   – сила реакции, приложенная к  -й точке;   – сила инерции, приложенная к  -й точке.

Уравнения принципа Даламбера, как и уравнения статики, могут быть составлены для любых точки и твердого тела, входящих в механическую систему, а также для системы в целом, т. е. как и в статике уравнения принципа Даламбера составляются для выбранного объекта.