3. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации

Задача. Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы данного вида приведены в таблице. В ней указаны такие запасы сырья каждого вида, которые могут быть использованы на производство единицы продукции данного вида. Известно, что цена единицы может изменяться для изделия А от 2 до 12 усл. ед., а для изделия В – от 13 до 3 усл. ед., причём эти изменения определяются выражениями и , где .

Для каждого из возможных значений цены единицы продукции данного вида найти такой план их производства, при котором общая стоимость продукции является максимальной.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на единицу продукции, т		Запасы сырья, т
	А	В
I II III	4 2 6	1 2 3	16 22 36

РЕШЕНИЕ. Обозначим через х₁ количество единиц продукции А, через х₂ – количество единиц продукции В. Математическая модель имеет вид

при ограничениях:

О бласть допустимых решений – многоугольник ОАВСD. Полагая , , строим . Перемещая линию уровня по направлению , находим, что в точке А(0, 11) задача имеет оптимальное решение. Таким образом, при , .

Если уравнение прямой имеет вид

, то угловой коэффициент равен k=-A/B.

Угловой коэффициент линии уровня, перпендикулярной , при произвольном значении равен

Н

(1)

айдём область оптимальности : будет оставаться оптимальным для всех , при которых соответствующая линия уровня находится внутри угла, образованного прямыми и (2). Угловой коэффициент прямой (2) k=-2/2=-1. По условию откуда Решение остаётся оптимальным при

При линия уровня совпадает с прямой (2) и оптимальными будут все точки, лежащие на прямой (2), в том числе и точка В(1, 10), лежащая на пересечении прямых (2) и (3).

Оптимальное решение будет сохраняться до тех пор, пока при изменении линия уровня не совпадёт с прямой (3), что будет соответствовать новому оптимальному решению . Найдём новый диапазон изменения : , так как k₃=-2. Откуда . Получили при =(1, 10),

Аналогично определяем, что при =(2, 8),

Таким образом, при необходимо производить только 11 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной усл. ед.; при необходимо производить одно изделие А и 10 изделий В, при этом стоимость продукции является максимальной и равной усл. ед.; при необходимо производить 2 изделия А и 8 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной усл. ед.

Найдём решение этой задачи симплексным методом, для чего приведём задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

ci	БП			0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
0 0 0	x3 x4 x5	4 2 6	1 2 3	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	16 22 36 0
0 13- 0	x3 x2 x1	3 1 3	0 1 0 0	1 0 0 0	-1/2 1/2 -3/2	0 0 1 0	5 11 3

Получим , так как все

Таким образом, .

ci	БП			0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
0	x3 x2 x1	0 0 1 0	0 1 0 0	1 0 0 0	1 1 -1/2	-1 -1/3 1/3	2 10 1 132-9

Получим

Таким образом, .

ci	БП			0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
0	X4 x2 x1	0 0 1 0	0 1 0 0	1 -1 1/2	1 0 0 0	-1 2/3 -1/6	2 8 2 108-

Получим

Таким образом, .

;

;

.