48. Методы расчета процесса теплового воздействия на пласт

Рассмотрим температурное поле при закачке в пласт наиболее про­стого теплоносителя  горячей воды. При этом будем полагать, что горячая вода закачивается в нефтяной пласт с начальной температурой Т_пл при постоянной остаточной нефтенасыщенности S_{н ост} = const.

Итак, в прямолинейный однородный пласт через галерею (рис. 127) закачивается горячая вода с температурой Т₁ и расходом q. Следовательно, на входе в пласт постоянно поддер­живается перепад температур T = T₁ = T₁  Т_пл. Пренебрегаем теплопроводностью пласта в горизонтальном направлении, но будем учитывать уход тепла по вертикали в его кровлю и подошву. Схема распреде­ления температуры в пласте в этом случае будет существенно отличаться от схемы, показанной в нижней части рис. 127. В этом случае процесс теплопереноса описывается уравнением: (15)

Рис. 127. Схема вытеснения нефти холодной водой из прямолинейного теплоизолированного пласта

В случае же переменной температуры используем интеграл Дюамеля. В результате по­лучим (16)

Эта задача расчета температурного поля в пласте известна как задача Ловерье. Ее решают с использованием преобразова­ния Лапласа, согласно которому вводится функция  (x, s) в виде

(17)

После подстановки (17) в (15) и (16) получим следующее дифференциальное уравнение: (18)

Решение уравнения (18) с учетом граничного и начального условий Т = Т₁, если х = 0 и Т = 0 при t = 0, имеет вид

(19)

Функции  (x, s)  изображение по Лапласу функции-ориги­нала Т (х, t).При переходе от изображения Лапласа к оригиналу имеем (20) Из (20) видно, что при x = 0 erfc (0) = l и T = T₁, а при х = х_ОТ = (at/b) erfc (∞) = 0 и T = 0.

Перемещение области насыщенного пара с постоянной тем­пературой в глубь пласта можно установить по формуле Марк­са  Лангенгейма. Вывод этой формулы получают не путем ре­шения дифференциального уравнения теплопереноса, а непо­средственно на основе баланса тепла в пласте, согласно кото­рому (26)

Здесь q  количество тепла, вводимого в пласт в единицу вре­мени вместе с паром; q_пл  изменение за единицу времени теп­ла в нагретой области 1 (рис. 131); q_T — изменение за единицу времени тепла, отдаваемого в кровлю  подошву. В расчетной схеме Маркса  Лангенгейма использована схема теплопотерь Ловерье. В области, содержащей насыщенный пар и остаточ­ную нефть с насыщенностью s_{н ост} , температура равна темпера­туре Т₀ нагнетаемого пара. В области 2, расположенной перед областью 1, температура равна пластовой Т_пл.

Рис. 131. Схема распределения темпе­ратуры в пласте согласно модели Маркса  Лангенгейма:

1  нагретая область, 2  область с пла­стовой температурой

Рис. 132. Зависимость _Т от у

Допустим, что тепловой фронт, продвинувшись в глубь пла­ста, занял положение х = х_Т (рис. 131) в некоторый момент времени . Только с этого момента начнется уход тепла в кров­лю и подошву по вновь образовавшейся площадке х_Т. Для от­дачи тепла из пласта в кровлю и подошву в соответствии с фор­мулой (11) имеем (27)

Для нагретой области 1 имеем (28)

Подставляя (27) и (28) в уравнение баланса тепла (26) и переходя к пределу t  0, x_T  0, получим (29)Так как здесь искомая величина dx_T /dt находится под зна­ком интеграла, уравнение (29) интегральное. Решение это­го уравнения получаем с использованием преобразования Лап­ласа. Оно имеет следующий вид:

(30)

Подставляя время t в последнюю формулу, находим соответ­ствующее ему значение у, по у определяем  (у) и затем по пер­вой формуле (30) вычисляем х_T.

Скорость теплового фронта _T = dx_T /dt получаем дифферен­цированием первого выражения (30): (31)

Важным показателем процесса закачки в пласт теплоноси­телей является _T  коэффициент тепловой эффек­тивности процесса, определяемый следующим образом:

(32)