Пирамида

Пирамида  это многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани  треугольники, имеющие одну общую вершину.

Многоугольник называется основанием, а треугольники  боковыми гранями. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в ее основании.

Изображение пирамиды

Изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания.

SABCD  четырехугольная пирамида; ABCD  основание пирамиды; ASAB; ASBC; ASDC; ASDA  боковые грани пирамиды; S  вершина пирамиды; SA; SB; SC; SD  боковые ребра; SO  высота пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды является сумма площадей всех граней пирамиды, площадью боковой поверхности  сумма площадей боковых граней.

S_полн = S_бок + S_осн

Правильная пирамида  это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамиды:

• Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.

• Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Задачи:

1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида  это пирамида, которая получается следующим способом: берется произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: пирамиду подобную исходной и многогранник. Полученный многогранник называется усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды служат подобные многоугольники.

ABCDA₁B₁C₁D₁ – усеченная пирамида

Если усеченная пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее, называется высотой усеченной пирамиды.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

S_полн = S_бок + S_{осн 1} + S_{осн 2}

Правильные многогранники

Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, у которого все грани – одинаковые правильные многоугольники.

Существует пять типов правильных многогранников.