- •1. Матрицы и основные операции над ними.
- •2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.
- •3. Умножение матриц.
- •4. Определители матриц второго и третьего порядка.
- •6. Свойства определителей.
- •9. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы линейных алгебраических уравнений.
- •10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в линейном виде.
- •11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •12. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
- •13. Системы линейных однородных уравнений. Свойства. Фундаментальное решение.
- •14. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения.
- •15. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
- •16. Линейное пространство.
- •17. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •18. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
- •20. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- •21. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
- •22. Линейные преобразования. Свойства.
- •24. Ранг и дефект линейного преобразования.
- •2 5. Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексного числа.
- •27. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.
- •28. Линейная модель обмена.
- •29. Понятие квадратичной формы. Матричная запись.
- •30. Канонический вид квадратичной формы.
- •32. Критерий Сильвестра.
- •33. Уравнения прямой в двухмерном пространстве.
- •34. Кривые второго порядка. Эллипсы.
- •35. Кривые второго порядка. Гиперболы.
- •36. Уравнение прямой в трехмерном пространстве.
- •37. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве.
- •38. Углы между плоскостями и прямыми.
- •39. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •40. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.
17. Линейная зависимость и независимость векторов.
Система линейно зависима , что .
Система линейно независима .
Критерий линейной зависимости векторов
Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
18. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.
Базисом линейного пространства L называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства L является линейной комбинацией этих векторов.
В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Линейное пространство L , в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется n -мерным линейным или векторным пространством. Число n называется размерностью пространства и обозначается dimL. Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.
19. Преобразование координат при переходе к новому базису.
Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е1, е2, е3 и е1, е2, е3. Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {ek} к базису {ek}. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:
А = С-1АС
Действительно, , тогда А . С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе {ek}, т.е. , и в базисе {ek}: соответственно - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА=АС. Умножая обе части этого равенства слева на С-1, получим С-1СА = = С-1АС, что доказывает справедливость формулы.
20. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
ab = |a||b| cosφ .
Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .
Свойства скалярного произведения:
1. ab = |a| праb.
Доказательство. По свойству проекции праb = |b| cosφ, следовательно, ab = |a| праb.
2. ab = 0 a b.
3. ab = ba .
4. (ka)b = k(ab).
5. (a + b)c = ac + bc .
6. a2 = aa = |a|2 , где а2 называется скалярным квадратом вектора а.
7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2},
то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
Доказательство. Используя формулу, получим:
ab = (X1i + Y1j + Z1k)(X2i + Y2j + Z2k) .
Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:
ab = X1X2ii +Y1Y2jj + Z1Z2kk + X1Y2ij +X1Z2ik + Y1X2ji + Y1Z2jk + Z1X2ki + Z1Y2kj.
Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому
ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .
Угол между векторами:
cosφ = .
21. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
Если векторы e1, e2, e3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.
Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.
Если e1, e2, ..., en — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..., n.
Евклидово пространство (также Эвклидово пространство) — в изначальном смысле, пространство свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.