34. Теорема Ролля. Пусть функция

а) определена и непрерывна на  ;

б)  ;

в) 

Тогда существует точка   в которой  .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как   определена и непрерывна на  , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на  , т.е. существуют конечные   и  .

2. Если  , то   есть константа, т.е.   и поэтому    . В качестве точки c можно взять любую точку из  .

3. Если  , то, в силу условия   и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений  или   достигается во внутренней точке промежутка   ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.

35. Теорема Лагранжа

сли функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'(c)(b – a).

Доказательство. Обозначим   и рассмотрим вспомогательную функциюF(x) = f(x) – f(a) – k(x – a).

Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b] и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды  и она проходит через точку A(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение

y = f(a) + k(x – a).

Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. ПоэтомуF(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b] и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функцииF(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c  (a; b), что F'(c)=0. Но F '(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) – k = 0.

Подставляя в это равенство значение k, получим

,

что и требовалось доказать.

36. Теорема Коши

Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c  (a; b), что  .

Доказательство.Определим число  . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенствоg(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d  (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию.

F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].

Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но

F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,

откуда .

Заметим, что теорему Коши нельзя     доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. 

37.Правилор Лопиталя. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть   или  . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций  , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

38. Производная и дифференциал высших порядков

Пусть функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором отрезке [ a , b ]. Значения производной f'(x) зависят от х, т.е. производная f'(x) тоже представляет собой некоторую функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y''=( f'( x ))'= f''( x ). (4.5)

Физический смысл второй производной: вторая производная f''(x) равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в момент времени х.

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f'''(x).

О. Если определена ( n -1) -я производная f ^(n -1 ) (x) и существует её произ­водная, то она называется n-й производной функции f(x):

f ^( n ) ( x ) = ( f ^( n -1 ) ( x ))' . (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка n , называют n раз дифференцируемой на данном множестве.

Дифференциал функции y = f ( x ) выражается в виде dy = f'( x ) dx . Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следующее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d ² y = f''( x ) dx ² . (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n -го порядка называется дифференциалом ( n +1)-го порядка.

39.Формула Тэйлора для многочленов

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n:

ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+...+а_nхⁿ.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде

Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+...+А_n(х-х₀)ⁿ        (26.1)

Для нахождения коэффициентов А₀, А₁ ,..., А_n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р'_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+...+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n''(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+...+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,        

Р_n"'(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+...+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)...2•1А_n

Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A₀,A₁,...,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Р_n(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Р_n(х) степени n.

40. Формула Тэйлора для функции.

Пусть функция y=f(x) является непрерывной и имеет все производные до n+1 порядка включ. Тогда данную функцию можно представить в виде

f(x) = a₀+a₁(x-x0)+a₂(x-x0)²+…+a_n(x-x0)+R_n(x)

Найдем коэффициенты разложений ряда Тэйлора:

a₀=f(x₀), a₁=f`(x₀)/1! , a₂=f``(x₀)/2! , … , a_n=f⁽ⁿ⁾ (x₀)/n!

При x₀ =0 формула Тэйлора называется формулой Маклорена

\

41.Применение формулы Тэйлора для приближенных вычислений

Для вычисления значений с заданной точностью Ɛ, нужно чтобы Ɛ.

Из решения данного неравенства мы найдем х, которое показывает, сколько нужно взять членов в ряде Тэйлора, чтобы была достигнута заданная погрешность.

Замечание: На практике для определения числа слагаемых пользуются след правилом: находят одно слагаемое, модуль которого < Ɛ и это слагаемое и будет последним.

42. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Ф-ция f(x) называется выпуклой вверх или вогнутой вниз, если график данной ф-ции лежит ниже любой касательной, проведенной к данному графику.

Ф-ция f(x) называется выпуклой вниз или вогнутой вверх, если график данной ф-ции лежит выше любой касательной, проведенной к данному графику.

т. х₀ для ф-ции y=f(x) называется точкой перегиба, если в этой точке ф-ция меняет выпуклость на вогнутость. В этой точке касательная будет пересекать гр-к ф-ции

Терема: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна и дважды дифференцирована, если:

1) ф-ция y=f(x) выпукла вниз, то f ``>0

2) ф-ция y=f(x) выпукла вверх, то f ``<0

Док-во: Пусть ф-ция ф-ция y=f(x) выпукла вниз, тогда для каждого значения x будет справедливо f(x) – y_n(x) ≥0. Запишем раложение ф-ции на ряд Тэйлора:

уравнение касательной, проведенной к т. x₀ ф-ции f(x) будет: y(x)=f(x₀) + f ` (x)(x-x₀)

Тогда f(x₀) -y(x)= ≥0, значит f ``>0. Аналогично для второго случая.

Следствие: справедливо и обратное утверждение: если то f ``>0, то функция выпукла вниз, и если f ``<0 – выпукла вверх.

Теорема: Необходимые условия существования точек перегиба:

Если ф-ция y=f(x) непрерывна и 2-ды дифференцирована в т.х₀ , где .х₀ – точка перегиба, то f ``(.х₀)=0.

Пусть .х₀ – т. перегиба и в эт. точке она меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз

f ``≤0 f ``≥0 значит f ``(.х<sub>0</sub>)= то f ``(.х₀) f ``(.х₀)=0.

Теорема: достаточное условие существования т. перегиба функции f(x) : Для тог ,чтобы т. x₀ ф-ции f(x) была, т. перегиба достаточно, чтобы f ``(.х₀) меняла знак (существование 1-ой и 2-ой производной в этой точке необязательно).

Вывод: для нахождения т. перегиба

1. Находим точку, в которой f ``(.х₀)=0 или не сущ.

2. Для получ т. проверяем изменение знака f `` при переходе через них: если знак меняется, то т. х₀ – т. перегиба.

43. Асимптоты ф-ции y=f(x) – называют прямую Т, такую что при удалении точки, находящейся на графике функции f(x) расстояние от этой точки до прямой

Различают след асимптоты:

1. Вертикальные – прямые, уравнение которой х=с, где с определяется из условия , т.е. один из односторонних пределов в этой т. должен быть равен

Из определения следует, что х=с является для ф-ции f(x) точкой разрыва второго рода.

2. Горизонтальные – прямые, уравнение которой у=с, где с определяется из условия

3. Наклонные – прямые у=kx+b, где k и b определяются:

при k=0 наклонная асимптота будет явл горизонтальной; при нахождении асимптот нужно пределы искать для + и - отдельно; гориз и наклон асимптоты будут существовать тогда, когда вычисл гориз асимпт с или для наклонной числа k и b будут являться коечным числом.

44. Применение дифференциального исчисления к исследованию ф-ции и построению её графика.

Схема исследования:

1. Находится обл.определения ф-ции

2. Нах. обл. значений, если возможно

3. Промежутки знака постоянства

4. Интервалы монотонности ф-ции и т. экстремума

5. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба

6. Асимптоты ф-ции

7. При получении рез-та исследования строим гр-к ф-ции