14.Плотность распределения вероятностей:

р(х)=

Функция р(х) называется плотностью распределения вероятностей. График функции р(х) называется кривой распределения.

Свойства ПРВ:

1. F(x)=P(X<x)= ,т.е сущ-ет так называемая интегральная связь между функциями р(х) и F(х). Функцию F(х) иногда называют интегральной

функцией распределения или интегральным законом распределения.

2. Следовательно, если функция р(х) непрерывна в точке x , то функция

распределения F(х) дифференцируема в этой точке, причем

р(х)=F’(х), т.е. сущ-ет так называемая дифференциальная связь

между функциями р(х) и F(х) . Следует отметить, что плотность распределения

р(х) называют также дифференциальной функцией распределения.

3. т.к. F(x)-неубыв ф-ция, р(х)>или= при всех х.

4.

15. МО СВ

Мат.ожиданием ДСВ называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)=х1р1+х2р2+…хnрn= .

Св-ва: 1)а≤М(Х)≤b.

2)M(C)=C.

3)M(CX)=CM(X).

4)M(XY)=M(X)*M(Y).

5)M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Мат.ожиданиемHСВ:

M(X)=

Если значения НСВ Х принадлежат бесконечному интервалу (- , то ее

математическое ожидание определяется формулой

М(Х)= _.

_{Свойства те же, что и для ДСВ.}

_{Разность Х-М(Х) наз-ся отклонением СВ Х от её М(Х). Отклонение является случайной}

_{величиной. Покажем, что математическое ожидание отклонения равно нулю.}

_{Действительно, М(Х-М(Х))=М(Х)-М(М(Х))=М(Х)-М(Х)=0}

_{Это равенство объясняется тем, что отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю.}

16.Дисперсия СВ – мат. ожидание квадрата ее отклонения от мат. ожидания:

D(X)=M(X-M(X))²=M(X²)-M²(X).

Св-ва:1) дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C)=0;

2. Постоянный множи

4. тель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX)=C²D(X);

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме

их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) + D(Y). Ср.квадратич.отклон-ем σ СВ Х наз-ся квадратный корень из дисперсии:σ=кореньD(X)

18.Биномиальное распределение и его хар-ки!!

Ряд распределения бином з-на имеет вид:

xi	0	1	2	…	m	…	n
pi	q	C	C	…	C	…	p

Т-ма: Мат. ожидание и дисперсия СВХ,распределенной по биномиальному закону, вычисляются соответственно по ф-лам:

M(X)=np; D(X)=npq;

Док-во:

Доказательство. СВ Х–число наступлений события А в n независимых испытаниях–можно представить в виде суммы n независимых величин Х=Х1+Х2+…+Хn= , каждая из которых имеет один и тот же з-н распределения:

xi	0	1
pi	q	p

СВ Хк, которую называют индикатором события А, выражает число наступлений события A в k-м испытании k=1,2,…,n , т.е. при наступлении события A Xk=1 с вероятностью p, при ненаступлении A Xk=0 c вер-стью q.

Найдем числовые характеристики индикатора события A:

M(X)=x1p1+x2p2=1*p+0*q=p

D(X )=x

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия рассматриваемой СВ X:

М(Х)=М(Х1+Х2+…+Хn)=р+р+…+р=np

D(X)=D(X1+X2+…+Xn)=pq+pq+…+pq=npq.