44. Пользуясь соотношением неопределённости Гейзенберга, оценить минимальную энергию электрона в атоме водорода.

В соответствии с принципом неопределённости неопределённость координаты электрона связана с неопределённостью импульса следующим соотношением:

Формально энергия была бы минимальной при r=0 и p=0. Поэтому положим и Подставив эти значения в 1 получим соотношение:

(поскольку наши расчёты могут претендовать лишь на определение поряков вычисляемых величин, то мы половину в правой части опустили)

Энергия в атоме водорода равна:

(*)

Найдём значение r, при котором Е минимальна. Продиффиренцировав последнее выражение по r и приравняв производную к нулю, получим уравнение

Подставим полученное нами значение для r в (*) получим выражение для минимальной энергии:

45. Квантовомеханическая теория атома водорода. Собственное значения и собственные функции для стационарных состояний атома водорода. Орбитальный момент электрона по квантовой теории. Гиромагнитное отношение.

Атом водорода – простейшая система для которой были получены точные решения уравнений квантовой механики.

Уравнение Шредингера , где , - волновая функция. В сферических координатах . Решить уравнение Шредингера это значит найти собственные значения энергии и собственные функции . Все уравнения отличаются только значением . - потенциальная энергия квантовой системы. - для атома водорода и водородоподобных систем.

Поскольку потенциальная энергия сферически симметрична, то оператор Лапласа в уравнении Шредингера лучше взять в сферических координатах. , где .

По этой причине , где - радиальная функция, - угловая функция, .

Уравнение Шредингера в следствии сферической симметрии разлаживается на 3 уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной.

На накладываются следующие условия:

она должна быть однозначной

должна быть непрерывной

должна быть конечной.

Так как - квадрат определяет вероятность найти данную частицу в единице объема с коэффициентами x, y, z. Т. е. Квадрат этой функции – плотность вероятности. Исходя из физического смысла , т. к. это достоверное событие и это уравнение называется уравнением нормировки.

Так как энергия сферически симметрична, а также из условия однозначности волновой функции следует, что функции являются функциями целочисленного аргумента m который может принимать значения и так далее.

Функция непрерывная и однозначная является спец. Функцией – присоединенные функции Лежандра. Они имеют однозначные и конечные решения только при целочисленных значениях l, которые иногда могут быть отрицательными и связано с m: m=-l,…,0,…l .

Функции должны быть непрерывными, однозначными и конечными исходя из физического смысла – а именно вероятность не может быть >1 или бесконечной.

Угловая функция зависит от l m, и при решении уравнения Шредингера она определяет момент импульса и проекцию момента импульса на выделенное направление , а с точки зрения графического решения она определяет форму электронного облака и его ориентацию.

Решение радиального уравнения приводит к специальной функции – полином Лагерра и квадрат этой функции определяет вероятность обнаружения электрона на определенном расстоянии от ядра.

, где z – порядковый номер элемента, - полином Лагерра, - боровский первый радиус .

Имеется соответствие

атом водорода в квантовой механике решается абсолютно точно

квантовые числа n, l и m получаются как следствия решения этого уравнения.

В то же время результаты квантовой механики и результаты Бора совпадают, а именно: уравнение Шредингера дает максимум вероятности на боровских орбитах.

Гиромагнитное отношение – отношение модуля магнитного момента в единицах , иначе , где - безразмерное число гиромагнитное отношение – характеризует соотношение между магнитным и механическим моментами системы.