43) Генеральная и выборочная дисперсия.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.
Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .
Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то
Если же значения признака имеют соответственно частоты N1, N2, …, Nk, где N1 +N2+…+Nk= N, то
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.
Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:
.Выборочная дисперсия.
Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Если все значения признака выборки различны, то
если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то
Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклоненим называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
Вычисление дисперсии - выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу:
Замечание: если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за xi принимают середины частичных интервалов.
44. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
При формировании интервальных оценок определяют границы интервалов, между которыми с большой вероятностью находятся истинные значения параметров.
Начнем
с точечных оценок и рассмотрим оценку
произвольного параметра (среднего,
дисперсии или какого-то другого)
генеральной совокупности, который
обозначим a. Оценивая параметр a по
выборке, находим такую величину
,
которую принимаем за точечную оценку
параметра a. Естественно, при этом
стремимся, чтобы оценка была в определенном
смысле наилучшей, поэтому к ней
предъявляется ряд требований:
1. Состоятельность. Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки ( ) она стремится к истинному значению параметра a.
В математической статистике показывается, что состоятельной оценкой генерального среднего значения , является выборочное среднее арифметическое , а состоятельной оценкой генеральной дисперсии — выборочная дисперсия . 2.Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если она не содержит систематической ошибки, т. е. среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке объема n из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению соответствующего генерального параметра a.
Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой генерального среднего .
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия, вычисляемая по формуле:
для
несгруппированных данных
для
сгруппированных данных
