33. Формула Ньютона — Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

 и 

делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то 

 (1)

33.Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; b

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

• Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке 

• Для любых a, b и c

• Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

• Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

34. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция 

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке  ,

2. ,

3. функция   непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда  .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е.   , тогда   - первообразная для функции  .  , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.  Пример:

.

35.  Теорема 2. Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то

     (24)

     Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.

     Доказательство очень просто. Именно,

     Так как по формуле интегрирования по частям будет

то

откуда и следует (24).

 Пример 1.

Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).\

36

37

38. Функции нескольких переменных

     Функции двух переменных       Приращение функции 

     Функция, дифференцируемая в точке   

 при 

В этом случае дифференциал функции в точке  :

 - частные производные, вычисленные в точке  .

     Дифференцирование композиции 

     1. Если   то

     2. Если   то:

     Однородная функция степени k 

39. I числовые ряды

Признак сравнения

 1) Если  , начиная с некоторого   и ряд  (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :

а) геометрическую прогрессию   ,   , сходящуюся при   и расходящуюся при  ;

б) гармонический ряд   , который расходится;

в) ряд Дирихле  , сходящийся при   и расходящийся, при p<1                             ( что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

   2) Если существует конечный и отличный от нуля  предел   (в частности,  , то ряды  (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд  .

Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+ ), где  - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln(1  , то этот ряд сравниваем с рядом

 , представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд    .

n-й член данного ряда:    ~  , т.е. при n  ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится.

   Часто, прежде чем использовать  какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при   и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.