12.Функция распределения случ. Величины и ее св-ва. График ф-ции распределения дискретной случайной величины.

Для непрерывных случайных величин, которые принимают значения сплошь заполняющие некоторый числовой промежуток или даже числовую прямую закон распределения в виде х_i /p_i не пригоден, поэтому для математического описания и дискретных и непрерывных случайных величин вводится новое понятие которое называется функция распределения и определяется равенством: F(C)=P(Χ<x),где х- произвольная точка числовой прямой х є(-∞;+∞); Х- случайная величина.

Некоторые значения этой случайной величины:

F(0)=0; F(100)=1/100; F(164)=1/5; F(190)=99/100.

Геометрический смысл ф-ции распределения: Р(Х<х)=f(x)

Свойства:

1) D(F)=R; E(F)=[0;1]

2)Ф-ция распределения – не учитывающая ф-ция. Если х₁ < х₂ , то F(x₁)≤ F(x₂)

F(x₂)= P(X < x₂)=P(X < x₁ или x₁ ≤ Х < x₂)=P(x < x₁)+ P(x₁ ≤X< x₂) след-но Р(x₁ ≤X≤ x₂)=F(x₂)- F(x₁)

Вер-ть того, что в рез-те испытания случ. величина Х примет значения на этом полуинтервале (a;b] равна приращению на этом полуинтервале Р(а≤ Х ≤ b)= F(b) – F(a).

3)

4)Если возможные значения случайной величины сосредоточены на [a;b],то F(x)=0 при x ≤ a; F(x)=1, при х > b.

Рассмотрим особенности графика ф-ции распределения дискретной случайной величины (ДСВ) заданной законом распределения в виде:

х х₁ х₂ … х_n …

р p₁ p₂ … p_n …

F (x)= 0, если х₁ ≤ х₂

р₁, если х₁ < х <х₂

р₁ + р₂ , если х₂ < х ≤ х₃

р₁ + р₂ + … + р_n , если х_n < х <х_n+1

р₁ + р₂ + … + р_n = 1, если х > х_n

График ф-ции распределения ДСВ есть кусочно-постоянная ф-ция, имеющая разрыв I рода в точках x = x_i ,где х_i - возможное значение СВ. Величина скачка в т. х_{i =} р_i .

F (x)

X ₁ 1

X ₁ 0 X₂ X₃ … X_n-1 X_n x

19.Закон Пуассона и его числовые характеристики.Для бином. распред-я вероятность . Пусть число испытаний n – велико,а вероятность р – мала (p<0,1) и произвед-е np. сохр.постоянное знач-е, кот. обозначается через λ (np= λ, λ=const)

Выразим р: Вычислим отдельно: Ф-ла Пуассона:

Заменяя знач-е переменной ее пределом, получим приближ. ф-лу:

- ф-ла Пуассона (законы редк. соб.) применяется для знач. при , то примен. локальн. и интегральн. теорема Лапласа

Дискр. случ. величина Х наз-ся распред. по закону Пуассона с параметром >0, если она приним. знач-е 0,1,…,k,… с вероятностями, которые рассчитываются по ф-ле Пуассона(законы редк. соб.)

Табл. распред. этого закона имеет вид:

З-н Пуассона применяется:1) в страховании(число треб. на выход страх. суммы в теч. года); 2) в технике(число отказов сложн. радиотехн. устр-в); 3)в космонавтике

20. Равномерное дискретное распределение, геометрическое распр-е, гипергеометрическое распр-е.Дискр. случайная величина Х называется распред. по равномерн. закону с параметром n, если она принимает знач-е 1,2,…,n с равн. вероятностями.

Таблица распред. имеет вид: ;

Геометрич. распр. с параметром p (0<p<1) называется распр. дискр. случайная величина Х, приним. значения 1,2,…,k,… с вероятностями p, pq,…, ,…

Таблица распред. имеет вид: ;

В гипергеометрич. распр. случайная велинина Х приним. знач-е 0,1,2,…,k, где k=min(n,M), а вероятность рассчит. по ф-ле: ;

21. Плотность распред-я вероятностей и ее св-ваСлучайная величина Х наз-ся неприр., если ее ф-я распред. F(x) явл. неприр. ф-ей и имеет производную F’(x) почти всюду, за искл. (м.б.) конечн. числа точек на люб. конечн. промежутке.

Плотностью распред. вер-тей (Р(Х)) наз-ся производная от ф-и распред-я.

Известно, что , разделим посл. рав-во на

, если , то правая часть к

Получ.,что плотность в т. х есть предельн. знач-е средн. плотности вер-ти первые части равны, значит и вторые равны

Св-ва плотности распр.:

1. р(х) 0, т.к. р(х) – произв. неубывающ. ф-и F(x)

2. - усл. нормировки.

3. 

- интегр. ф-я распред. р(х)=F’(x) – дифференц. ф-я распред.

22. мат. ожид. И дисперсия непрерывной случ. Величины. Док-во равенства:Математическим ожиданием случайной величины х (M[x])называется средневзвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступаютвероятности появления тех или иных значений. Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньше наибольшего.Матем ожид наз-ся числоM(X)=∫ от a до в хр(х)dx; M(X)=∑ от до n xp ²

Док-во равенства в конспекте

Дисперсия (D[x]) характеризует рассеивание или разряженность случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия случайной величины всегда величина положительная

Размерность дисперсии равна квадрату разности случайной величины

Все св-ва мат ожидания и дисперсии дискретной случ вел остаются справедливыми для непрерывной случ величины

23. Равномерный закон распределения и его числовые характеристикиЗакон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

24. Показательный закон распределения и его числовые характеристики Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если её плотность вероятности f(x) имеет вид:Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке событий имеет показательное распределение с параметром - интенсивностью потока

2 8Функцией Лапласа наз. Ф-я:

Она тесно связана с нормальным законом распределения.

Осн. св-ва:1. Область определения – вся числовая прямая.2. Ф-я Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой.3. Функция Ф(х) нечетная. Ф(0)=0

4 .

Функция Лапласа очень быстро приближается к единице с ростом х.

Ф(0)=0; Ф(1)=0,6827; Ф(2)=0,9945; Ф(3)=,09973; Ф(х)=1 при х>4.

Если СВ распределена по норм. Зак. С параметрами а и σ . Записывается х принадлежит N(а;σ), её ф-я распределения Ф(х) связ. С ф-ей Лапласа след. образом.

29Пусть у нас имеется СВ Х. дискретная или непрерывная, для кот. Известен закон распределения.

Тип СВ\ момент	Начальные νк =М(хк)	Центральные μк =М(х-М(х))к
дискретная х 1 2 … n р р1 р2 … рn	νк = Σni=1 хikpi	μк = Σni=1(хi – M(x))кpi
Н епрерывная p(x)	νк = xкp(x)dx	μк = (x-M(x))кp(х)dх

Если для СВ известны значения всех начальных моментов, то решая соответственно систему ур-й можно востан. ф-ю распределения этой СВ.

Любой центральный момент выражается ч-з начальные моменты, кот. вычисл. проще.

Центр.момент к-того порядка μ_к наз. математическим ожиданием к-ой степени отклонения случ.вел. от своего мат. ожидания.

Ассиметрией теоретического распред-я наз-ся отн-е центр. момента 3-го пор-ка к кубу ср. квадр. ожидания.

А _s=μ₃/ σ³ Нормальная кривая

A s>0, если «длинная часть» кривой распределения нах-ся правее мат. ожид-я. В противном случае As<0. Эксцессом распределения наз. Число Е_к= (μ₄/ σ⁴)-3 для номального распределения Е_к=0.Если Е_к>0, то крив-я теоретич распред-я будет более высокой и острой, чем норм расп-е с теми же параметрами.Если Е_к<0, то теоретич крив-я будет более низкой и плоской.

30Пусть Х-СВ непрерывная или дискретная, принимающая только неотрицательные значения (х≥0), имеющая мат-е ожидание (М(х)),тогда для любого >0 справедливо нер-во: Р(х<)≥1-(М(х)/ ) 1-е неравенство Маркова.

Р(х≥)≤М(х)/ 2-е неравенство Маркова. х< и х≥ – противопол. сумма их вер-тей =1,значит из нер-ва 2 следует нер-во 1. Нер-ва (1) и (2) служат для решения задач и т.д.

Замечание:1) нер-во(1) применяют если з-н распред-я не известен, а известно лишь то, что 0 и М(х). 2) из (1) следует что Р(х<)=F(). С ростом  оценка ф-ции и расп-я станов-ся достаточно хорошей