![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§4 Интерполирование
- •4.1 Постановка задачи
- •4.2 Существование и единственность интерполяционного многочлена
- •4.4 Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
- •4.5 Табличные разности (конечные разности)
- •4.7 Погрешность интерполяционной формулы Ньютона
- •4.8 Частные случаи интерполирования
- •4.9 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов
4.7 Погрешность интерполяционной формулы Ньютона
, заменяя в вычисленияx значение функции значением интерполяционного многочлена мы допускаем погрешность.
Обозначим
- остаточный член формулы Ньютона, он и дает погрешность метода.
В силу единственности
интерполяционного многочлена
и для многочлена
справедливо будет
,
где
Если узлы
равноотстоящие, то введя замену
,
погрешность выражается формулой
Если будет
известно, что
, то получим оценку погрешности.
(14)
Можно принять
на
Если аналитическое выражение функции заданной таблицей, неизвестно, то используют формулу практической оценки погрешности.
(15)
Так как при малых h и в силу непрерывности производных
4.8 Частные случаи интерполирования
1) линейное интерполирование
Имеем 2 узла
интерполирования
.
n=1
– степень интерполяционного многочлена.
Из формулы (12) при
n=1
получим
,
а
приближенное равенство (13) примет вид
(16)
Формула (16) и есть формула линейного интерполирования.
Геометрический смысл линейного интерполирования:
y M1
M0
0 x0 x1 x
дается 2 узла .
При линейном
интерполировании дуга кривой
заменяется отрезком прямой
2) квадратичное
интерполирование. Имеем 3 узла
интерполирования
,
равноотстоящие, n=2
– степень интерполяционного многочлена,
тогда из (12) при n=2
получим
А интерполяционная формула примет вид
(17)
Формула (17) и есть формула квадратичного интерполирования.
Геометрический
смысл: при квадратичном интерполировании
дуга кривой
заменяется дугой параболы, проходящей
через точки
3) допуск линейного интерполирования
Определение:
говорят, что таблица допускает
интерполирование n-го
порядка, если погрешность метода при
использовании интерполяционного
многочлена n-го
порядка не превосходит точности табличных
значений функции, то есть
,
где
- точность значений функции.
Итак, пусть задана
таблица, в которой все значения функции
записаны с точностью
Воспользуемся формулой практической оценки погрешности (15) при n=1, будем иметь
Рассмотрим функцию
Исследуя ее на
экстремум на
,
получим
,
тогда
Очевидно, что если
вторые табличные разности не превосходят
4х единиц младшего разряда табличных
значений функции, то есть
,
то получим
Значение функции вычислимое с помощью линейного интерполирования имеет ту же точность, что и табличные значения функции, а это значит, что таблица допускает линейное интерполирование.
Отсюда критерий: таблица или ее часть допускает линейное интерполирование, если модули вторых табличных разностей не превосходят 4х единиц младшего разряда табличных значений функций.
4) критерий допуска квадратичного интегрирования.
Пусть - точность табличных значений функции
При n=2 из (15) получим
Рассмотрим функцию
,
исследуя ее на экстремум на отрезке
и
Тогда условие
допустимости запишется
Если
то
значение функции, вычисленное с помощью
формулы квадратичного интерполирования
будет иметь ту же точность, что и значения
функции в таблице, а это значит, что
таблица допускает квадратичное
интерполирование. Отсюда критерий:
таблица или ее часть допускает квадратичное
интегрирование, если модуль третьих
табличных разностей не превосходит
семи единиц младшего разряда значений
функции