7.Операторный метод расчёта переходных процессов: преобразование Лапласа, операторные схемы замещения, теорема разложения и её применение при расчётах

Алгоритм:

Оригиналы i(t), u(t)=>прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение алгебраическ. Уравнений=>обратное пр-ние Лапласа=>искомые изображения=>графики i(t) u(t)

Прямое преобразование Лапласа.

Пусть некоторая ф. f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|< M действ., вещ. М1е числа то f(p)= f(t) dt и этот интеграл абсолютно сходится

F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости Re[p]=S>=e f(t)=f(p)

Примеры получения изображений для элементарных ф-ий.

f(t)={0, при t<0 и 1, при t>0

f(p)= 1 dt= \p|0=1\p; I(t)=1\p;

f(t) = f(p)= * dt= |0 = ; = ;

Св-ва линейности

Изображение лин. комбин. есть линейно комбин. изменение.

Теорема дифференцирования оригинала

f `(t):=pF(p)-f(0)

1-ое предельное соотношение

Lim(при t=>оо )f(t)=lim(при p=> oo)pF(p)

2-ое предельное соотношение

Lim(при t=>оо)f(t)=lim(p=>0)pF(p)

Они полезны для проверки преобразований Лапласа

Обратное преобразование Лапласа

Если функция F(p) аналитична и задана в полуплоскости Rep>c,при этом стремится к 0 при p=>oo , а также:

сходится абсолютно

То f(t)= f(p):=f(t)

Теорема разложения

f(p)=F1(p)\F2(p) =

f(p)=1\(p(p+a)(p+b));

p(p+a)(p+b)=0; p1=0; p2=-a; p3=-b;

f2`(p)=(p^3+p^2a+p^2b+pab)`=3p^2+2ap+2bp+ab

f(t)= =1\ab+ + ;

I(p)=(0,86p+0,334)\(p^2+50p+10^5)

F2(p)=p^2+50p+10^5=0=>p1,2=-25+-j315;

F2`(p)=2p+50;

I(t)=(0,286*(-25+j315)+33,4)e^p1t\2j315+(0,268(-25-j315)+33,4e^p2t)\-2j315=0,235e^-27tcos(35t-17,5);

Алгоритм расчёта переходного процесса операторным методом:

1.ННУ

2.Операторная схема замещения

3.На основании схемы составить

алгебраич. уравнен.

4.Решение этих ур-ий по отношению

К неизвестному изобр.

5.по получ. изображениям определяем оригиналы

6. строим график

8.Расчёт переходных процессов в эц с помощью интеграла Дюамеля: переходные функции, порядок расчёта

– все время действия функции. Этот разбиваем на элементарные скачки и заменяем приближенной ступенчатой функцией.

При достаточно малом реакция цепи на первый прямоугольный импульс приближенно равна реакции цепи на единичную функцию помноженную на высоту первой ступени: . Реакция цепи на вторую ступень: , где - высота второй ступени; - реакция цепи на единичную функцию, смещенную в сторону запаздывания на и т.д.

Следовательно, для рассматриваемого момента времени реакция цепи равна:

При и

-это первая форма записи интеграла Дюамеля, т.е. выходной сигнал:

R=2 Ом L=5 мГн

На входе непериодические несинусоидальные сигналы

Общая формула интеграла Дюамеля:

Для нашего случая

Переходная проводимость g(t) есть реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.

Подадим на вход единичное напряжение, на выходе получим единичный ток:

Схема:

Ток Ir(t) будет равен проводимости переходной характеристики.

Найдём этот ток.

1.ННУ:

2. Установившийся режим: .

3. Свободный режим:

4.ЗНУ:

в итоге получаем ток: