- •1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
- •2 Масса фигуры переменной плотности
- •3 Геометрический смысл ди (двойного интеграла)
- •4 Геометрический смысл Кр и -1
- •5 Свойства определённого интеграла по фигуре
- •6 Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода
- •7 Вычисление ди в декартовых координатах
- •8 Вычисление ди в полярных координатах
- •9 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
- •12 Вычисление пи-1
- •13 Вычисление статических моментов фигуры
- •14 Вычисление координат центра тяжести фигуры
- •15 Вычисление моментов инерции фигуры
- •Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.
- •17 Формула Грина
- •18 Независимость Кр и-2 от пути интегрирования
- •20. Формула Стокса
- •21 Формула Остроградского-Гаусса
- •22. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению.
- •23 Градиент, свойства градиента
- •24 Векторное поле, определение, векторные линии, труба
- •25 Поток векторного поля, его физический смысл
- •26 Дивергенция векторного поля, её свойства
- •27 Циркуляция векторного поля, её физический смысл
- •28 Ротор векторного поля, его свойства
- •29 Оператор Гамильтона, диф.Операции 1-го и 2-го порядка
- •30 Простейшие векторные поля: потенциальное, соленаидальное, гармоническое
- •31 Определение числового ряда, основные понятия. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда
- •32 Свойства сходящихся числовых рядов
- •33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда
- •34 Признаки сравнения числовых рядов
- •35 Признак д'Аламбера
- •36 Радикальный признак Коши
- •37 Интегральный признак сходимости
- •38 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременного ряда
- •24.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •39 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •40 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •41 Функциональные ряды, основные понятия
- •42 Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий равномерной сходимости. Теорема Вейештрасса
- •25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •44 Степенные ряды. Теорема Абеля
- •45 Свойства степенных рядов
- •46 Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора
- •47 Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- •48 Разложение в ряд Маклорена простейших функций
- •49 Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ои; в) решение диф. Уравнений
- •1Функции
- •50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
- •51 Ортогональные системы функций. Скалярное произведение функций
1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
Под фигурой Ω будем понимать ограниченное замкнутое тело с вкл. гран. Множ. Диаметр d фигурыΩ будем называть максимальное из расстояний между двумя точками этой фигуры . Для эллипса – большая ось. Под мерой ω для плоской фигуры и поверхности будем понимать площадь S, для линии – длину линии, для пространственного тела объём.
Определённый интеграл по фигуре Ω от заданной на ней функции f(p) называется предел n-интегральной суммы, когда . В случае когда фигура плоск. обл.Д, интеграл называется двойным.
2 Масса фигуры переменной плотности
. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
,
если подынтегральная функция , , задает
плотность линейная распределения поверхностная ( )
массы по объемная ( )
в зависимости от размерности фигуры, , , на .
3 Геометрический смысл ди (двойного интеграла)
Вычислим V цилиндрического тела. Сверху ограниченного поверхностью z=f(x,y) проекция поверхности на плоскость xoy =>область Д и цилиндр. образующ. кот. // oz
Р азобьем область Д на n-цилиндрических тел основаниями которых будут элементы области ∆ . Возьмём произвольную точку в области ∆ и h-z=f ( ), тогда ∆ =f( )* ∆ , a V ≈ =>
V=
Двойной интеграл – V цилиндрического тела с основанием Д ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)
Замечания: 1. Если объём ограниченный сверху z=f(x,y), снизу z=f1(x,y), то V= 2. Если f(x,y)≤0 неопред. в области Д, то ДИ от этой функции = V цилиндрического тела взятому со знаком «-»
4 Геометрический смысл Кр и -1
1. Дугу кривой или в пространстве XOYZ разбиваем на nмалых частей точками M0=A, M1,…,Mn=B; обозначаем длины хорд , (Рис. 13) |
|
2. Вычисляем значения функции f (x,y,z) в произвольно выбираемых точках на i-той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд Δli: ,
3. Составляем интегральную сумму
и вычисляем её предел при λ → 0, где – это ранг разбиения.
4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (l) на элементарные части, ни от выбора на них точек , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции
f (x, y, z) по линии l:
|
5 Свойства определённого интеграла по фигуре
пусть функция f(p) непрерывна на фигуре Ф т.е. ОИ по фигуре Ф существует, тогда выполняются следующие свойства:
1. f1(p)∓f2pdw= f1pdw∓ f2pdw
2. kf(p)dw=k f(p)dw
3. если фигуру Ф разбить на конечное число частей, то интеграл равен сумме частей интегралов.
4. если dw=w ,
то dl=l , ds=s,d σ=σ, dv=v
5. если f1(p)<f2(p), то f1pdw< f2pdw
6. /f(p)dw/≤ /f(p)/dw
7. оценка интеграла по фигуре. Если m и M наибольшее и наименьшее значение функции f(p) на фигуре Ф, то mw≤ f(p)dw≤Mw
8. (о среднем значении) если функция f(p) непрерывна на Ф с
мерой w, то найдется точка Р∈Ф, то f(p)dw= (Po)w