![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое опред. Вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •5.Условная вероятность. Независимость событий.
- •6.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7.Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8.Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.Плотность распред.Вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12.Дисперсия и ее свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14.Моменты.
- •15.Осн. Дискретные распред.Случайных величин.
- •16.Равномерное и показательное распределения. Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •17.Нормальное распределение.
- •18.Двумерная функция распред. И ее свойства.
- •19.Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20.Независимость случайных величин.
- •21.Условный закон распределения.
- •22.Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24.Центральная предельная теорема.
- •25.Выборочный метод.
- •26.Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •27.Гистограмма и полигон.
- •28.Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30.Доверительные интервалы
- •31.Распределения , Стьюдента и Фишера.
- •33.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
- •34.Проверка статистических гипотез.
- •35.Построение критической области.
- •36.Критерий согласия Пирсона.
- •37.Вычисления теоретических частот для нормального распределения.
- •38.Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •39.Сравнение средних двух нормальных выборок (критерий Стьюдента).
- •40.Дисперсионный анализ.
- •41.Парная регрессия.
- •42.Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •43.Проверка гипотезы о достоверности выборочного коэффициента корреляции.
- •44.Нелинейная парная регрессия.
8.Предельные теоремы в схеме Бернулли.
При больших n применение формулы Бернулли затруднительно из-за сложности вычисления факториалов и степеней. В этом случае исп. приближенные формулы. Рассмотрим 2 случая:
1.
или
.
2. p (0,1) и не близко ни к нулю, ни к единице.
Теорема
Пуассона.Если
в схеме Бернулли
,
так, что np
a,
тогда
. Замечания:
1.
– среднее число появления события А в
n
испытаниях.
2. Как
правило, теорему Пуассона применяют,
когда
.
3. В конце книг по теор. вероятности есть таблицы для подсчета вероятности для различных a и m.
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
Если
вероятность наступления некоторого
события в n
независимых испытаниях постоянна и
равна p,
p(0,1),
то
вероятность того, что в этих испытаниях
событие A наступит ровно m
раз,
удовлетворяет при n
соотношению
,
где
Равномерно
по всем m,для
которых
находится в каком-то конечном интервале;
Функция
-
плотность нормального распределения.
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
Если
m
есть число наступлений события в
n
независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность
этого события равна
p,
причем
p
(0,1),
то равномерно относительно a
и
b(−∞<a<b<+∞)
n
имеет место соотношение
,
Где
-
функция Лапласа.
Замечания.
1. Функция Лапласа нечетная:
=
-
.
2.
Функция Ф0(z)
асимптотическая и при
она быстро стремиться к 0,5. Это стремление
настолько быстрое, что при
можно
считать равной 0,5.
3. Плотность нормального распределения - четная функция.
4.
Функции
,
в конце книг по ТВ и МС заданы таблично.
9.Ф-ция распред.вероятностей и ее свойства.
Одним
из осн.понятий теории вероятностей явл.
случайная величина.Случайные величины
бывают дискретные, непрерывные и др.
Для того, чтобы одинаковым способом
характ.случ. величины различной
прир.вводится понятие ф-ции
распред.вероятностей. Пусть
- случайная величина и
-
произвольное действительное число.
Вероятность того, что
примет знач., меньшее чем х, наз.функцией
распред. вероятностей:
.Случайной
наз.величина,знач.кот.зависят
от случая и для кот.опред.ф-ция распред.
вероятностей. Дискретной наз.случайная
величина,кот.прин. конечное или счетное
мн-во знач. Под счетным мн-вом
понимается мн-во натуральных чисел.Счетное
мн-во знач.можно пронумеровать:
Для
полной вероятностной хар-ки дискретной
случ. величины необх.знать ее закон
распред. Пусть –возможные знач.случайной
величины
,
- вероятности этих знач.Мн-во пар
,
i =1,2,… наз.законом
распред.вероятн.дискретной случ.
величины. Обычно закон распред.изображ.в
виде табл.:
|
|
|
|
|
… |
P |
|
|
|
|
… |
Непрерывной наз.случайная величина,знач.кот. заполняют сплошь некот.промежутки.Ф-ция распред.вероятностей явл.неслуч.ф-цией, вычисленной на основании закона распред. случ.величины.Св-ва функции распределения:
1.
,0
,т.к.
это вероятность.
2.
– неубывающая ф-ция.
.Следствия:
2.1.
Вероятность попадания случ.величины в
заданный интервал есть приращение ф-ции
распред. на этом интервале:
2.2. Вероятность принять одно фиксированное знач.для непрерывн.случ.величины равна нулю.
,
при
т.к.
ф-ия распред.непрерывн.случайной
величины непрерывна.
2.3Вероятн.попадания
непрерывн.случ.
велич. в открытый или замкнутый промеж.
одинакова:
Докажем
последнее равенство
3. непрерывна слева в каждой точке (см. рис.7.1).
4.
5.
.