![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Множества. Операции над множествами.
- •Множество вещественных чисел. Свойства вещественных чисел.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Едел функции в точке.
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •Стационарные точки. I достаточное условие экстремума.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Направление выпуклости функции.
- •Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
- •Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменных.
- •Интегрирование по частям.
- •Основные типы интегралов, берущихся по частям.
Теорема о пределах функции.
ТЕОР1: Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном множестве и имеют пределы в точке А, равные В и С. Тогда функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, В*С, В/С (при С0).
Док-во: Пусть {Xn} – произвольная, сходящаяся к А последовательность, все элементы которой отличны от А. Последовательности {f(Xn)} и {g(Xn)} сходятся к пределам В и С (опр. предела Ф. по Г). Тогда последовательности {f(Xn)+g(Xn)}, {f(Xn) – g(Xn)}, {f(Xn)g(Xn)}, {f(Xn)/g(Xn)} сходятся к пределам В+С, В – С, ВС, В/С (С0). Функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, ВС, В/С (С0).
ТЕОР2: Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки А, за исключением, быть может, самой точки А, и функции f(x) и h(x) имеют предел в точке А, равный В. Пусть, кроме того, выполняется неравенство f(x)g(x) h(x) для всех хХ. Тогда предел функции g(x) в точке А равен В.
Док-во: Пусть {Xn} – произвольная, сходящаяся к А последовательность значений аргумента функций f(x) и h(x), все элементы которой отличны от А. Последовательности {f(Xn)} и {h(Xn)} сходятся к пределу В. Используя неравенства f(x)g(x) h(x) для nN. Но тогда последовательность {g(Xn)} сходятся к пределу В. lim g(x)=B в точке А.
I замечательный предел.
ТЕОР1:
Предел функции g(x)
=
в точке х
= 0
существует и равен 1,
т.е. lim
=1
n
Док-во: Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, радиальная мера которого равна Х (0<X</2).
Т
огда
АО=1,
sin X=MK,
tg X=AT.
Площадь треугольника
ОАМ меньше площади
сектора ОАМ, которая
меньше площади треугольника ОАТ,
или 1/2ОАМК<1/2OAAM<1/2OAAT
1/2sin
X<1/2X<1/2tg
X
sin
X<X<tg
X.
Разделим эти неравенства на sin
X>0,
получим 1<
<
.
Для обратных величин справедливы
обратные неравенства cosX<
<1.
Так как неравенства справедливы при 0<X</2 они справедливы и при -/2<X<0, так как при замене Х на –Х все три функции cosX, (sin X)/X и 1 не меняют своих значений. Т. о. неравенства справедливы при всех Х(-/2, /2), за исключением точки Х=0.
Так как обе функции f(x)=cosX и h(x)=1 имеют в точке Х=0 предел равный 1, то g(x)= тоже имеет в точке Х=0 предел равный 1.
II замечательный предел.
ТЕОР1:
Предел функции f(x)
=
при
х
существует и равен числу е,
т.е. lim
=
e.
х
Док-во: Пусть X>1.
Положим
n=[x]
(целая часть Х),
тогда X=n+,
где n
– натуральное число, а
удовлетворяет условию 0<1.
Так как nX<n+1,
1/(n+1)<1/X1/n
и 1+1/(n+1)<1+1/X1+1/n,
то (по свойству возрастания показательной
Ф. с основанием, большим 1)
<
<
.
При
Х
(n)
lim
=lim
lim
=e1=e
и
lim
=[lim
]/[lim
]=e.
lim
=e.
Пусть теперь X<-1, X= -Y.
Тогда
lim
=lim
=lim
=lim
lim
=
e1=e
(при X -, Y +).
Окончательно имеем lim = e.