§3. Задача двух станков.

Постановка задачи. Имеется n деталей и два станка. Каждая деталь сначала обрабатывается на первом станке (станок 1), а затем – на втором (станок 2). Станки включаются одновременно. Для каждой детали известно время обработки как на станке 1, так и на станке 2. В какой последовательности надо запустить детали на обработку, чтобы общее время обработки всех деталей было минимальным?

Решение задачи. Введем обозначения. Пронумеруем детали, множество номеров обозначим через I = {1, 2,…, n}. Момент включения обоих станков – через t = 0. Время обработки детали на станках 1 и 2 – через a_i и b_i соответственно.

Задачу решим методом динамического программирования. Первый этап метода – погружение задачи в семейство аналогичных задач.

Для построения семейства будем рассуждать следующим образом. Из партии I удалим k любых деталей с номерами i₁, i₂,…, i_k. Рассмотрим остальные деталей. Пусть I_k = I \ {i₁, i₂,…, i_k} – множество номеров оставшихся деталей. Каждая деталь i с номером из I_k обрабатывается сначала на станке 1, а затем на станке 2. Станок 1 включается в момент времени t = 0, а станок 2 – через y ед. времени после станка 1.

Если I_k = I и y = 0, то получим исходную задачу.

Введем функцию Беллмана – оптимальное (минимальное) время обработки (n - k) деталей с номерами из I_k, если станок 2 включается через y ед. времени после станка 1. Обозначим ее

B_n-k(i₁, i₂,…, i_k  y) (3.1)

Перейдем ко второму этапу метода динамического программирования – составлению уравнения Беллмана. Используем при этом принцип оптимальности. Рассуждаем следующим образом. Из множества деталей с номерами из I_k возьмем произвольную деталь i и первой запустим на обработку.

Станок 1 включился в момент t = 0, а значит, в момент t = a_i он закончит обработку детали i и освободится. Деталь i уйдет на обработку на станок 2.

Станок 2 включился в момент t = y, а значит, время окончания обработки детали i на этом станке зависит от соотношения между a_i и y:

если y  a_i (станок 2 включился, а станок 1 еще обрабатывает деталь i), то в момент t = a_i деталь i начнет обрабатываться на станке 2, а в момент t = a_i + b_i обработка детали i на обоих станках закончится;

если y > a_i (станок 1 освободился, а станок 2 еще не включен, деталь i ждет момента включения), то деталь i начнет обрабатываться на станке 2 в момент t = y, а в момент t = y + b_i обработка детали i на обоих станках закончится.

Итак, момент освобождения станка 2 равен

(3.2)

Далее будут обрабатываться детали с номерами из множества . Для них станок 1 включается в момент t = a_i, станок 2 – в момент, который определяется согласно (3.2), т.е. через b_i ед. времени после станка 1, если y  a_i , или через ((y  a_i) + b_i) ед. времени, если y > a_i. Обозначим через t_i промежуток времени между моментами включения станка 1 и станка 2 для обработки деталей с номерами из множества I_k \ {i}. Тогда

t_i = b_i + max {0; y  a_i} (3.3)

Следуя принципу оптимальности, будем считать, что детали с номерами из множества I_k \ {i} обработаны за минимальное время. Это время согласно определения функции Беллмана (3.1) равно B_n-k-1(i₁, i₂,…, i_k, i  t_i ).

Таким образом, время обработки всех деталей с номерами из I_k, если первой на обработку деталь i, равно

a_i + B_n-k-1(i₁, i₂,…, i_k, i  t_i ). (3.4)

Деталь i для обработки первой была взята произвольно. Поэтому необходимо подсчитать число вида (3.4) для каждой детали из I_k . Минимальное из этих чисел и будет число (3.1), т.е.

B_n-k(i₁, i₂,…, i_k  y) = min ;\s\do9(i ( Ik { a_i + B_n-k-1(i₁, i₂,…, i_k, i  t_i )} (3.5)

Уравнение Беллмана получено. Оно является рекуррентным относительно аргумента k. Начальные условия для его решения получим, если в (3.5) положим . Другими словами, из партии I удалим все детали, кроме одной: . Тогда имеем:

B₁(1,…, i  1 , i + 1,…, n y) = (3.6)

Третий этап метода динамического программирования – решение уравнения (5) с начальными условиями (3.6).

Оказалось, что для данной задачи хороший алгоритм решения получается после анализа уравнения (3.5). Рассмотрим оптимальное время обработки всех деталей с номерами из I, если станок 2 включается после станка 1 через y ед. времени, т.е. { i₁, i₂,…, i_k } = , I_k = I. Согласно введенной функции Беллмана (3.1) это оптимальное время обозначается как B_n( y). Впредь знак пустого множества будем опускать. Итак, B_n(y) – минимальное время обработки всех n деталей, если станок 2 включается через y ед. времени после станка 1. Из уравнения (3.5) при k = 0 получаем

B_n(y) = min ;\s\do9(i ( I{a_i + B_n-1(i t_i) }, (3.7)

где t_i определено согласно (3.3).

Определим B_n-1(i t_i). В этом случае k = 1, I₁ = I \ {i}. Из уравнения (3.5) при k = 1, y = t_i получаем

B_n-1(i t_i) = min ;\s\do9(j ( I1))\b\bc\{( aj + Bn-2(i (3.8)

где t_ij, определенное согласно (3.3), равно

t_ij = b_j + (3.9)

Подставим (3.8) в (3.7):

(3.10)

Число

a_i + a_j + B_n-2(i, j y) – (3.11)

есть время обработки всех деталей, если первой обрабатывается деталь i, затем деталь j, а остальные n  2 деталей обрабатываются в оптимальной последовательности.

Поменяем порядок обработки деталей i и j. Рассуждая аналогично, получим значение

B_n(y) = min;\s\do9(j ( I)) \b\bc\{( \o(min;\s\do9(i ( I1))\b\bc\{(aj + ai + Bn-2 (j, (3.12)

где I₁ = I \ {j}, и число

a_j + a_i + B_n-2 (j, i  t_ji) (3.13)

есть время обработки всех деталей, если первой обрабатывается деталь j, затем деталь i, а остальные (n  2) деталей обрабатываются в оптимальной последовательности. Здесь число t_ji и промежуточное число t_j согласно (3.3) равны

t_j = , .

Сравнение (3.10) и (3.12) приводит к сравнению (3.11) и (3.13). Соотношение между последними зависит от значений функции для различных значений аргумента y, когда I₂ = I \ {i, j}. Очевидно, что минимальное время обработки при заданном множестве I₂ не может быть уменьшено за счет увеличения переменной y, т.е. функция по переменной y является неубывающей. Таким образом,

если t_ij  t_ji, то  ,

если t_ij  t_ji, то  .

Теперь можно сделать вывод относительно значений функции :

если t_ij  t_ji, то  . (3.14)

Итак, если t_ij  t_ji, то в оптимальной последовательности запуска деталей на обработку деталь i предшествует детали j, в противном случае сначала нужно обработать деталь j, а затем деталь i.

Определим деталь, с которой надо начать оптимальную последовательность, и деталь, которой она заканчивается. Положим y = 0 в (3.10) и (3.12) (станки включаются одновременно). Найдем соответствующие t_i , t_j , t_ij , t_ji :

t_i = = b_i,

== (3.15)

t_j = = b_j,

== (3.16)

Значение зависит от чисел t_ij и t_ji , определенных согласно (3.15) и (3.16), при этом надо найти из них наименьшее.

Рассмотрим два следующих случая.

1. Пусть – минимальное число из всех чисел a_i, b_i, i = 1. Положим в соотношениях (3.15) i = . Найдем и для всех j = 1, j  , и сравним их. Так как , то согласно (3.16) имеем

= =  b_j .

Согласно (3.15)

= =

а) если , то = b_j  .

б) если , то =  = .

В любом случае  для всех j = 1, j  . Следовательно, , что означает, что деталь с номером должна обрабатываться первой среди всех.

2) Пусть – минимальное число из всех чисел a_i, b_i, i = 1. Положим в соотношениях (3.15) j = . Найдем и для всех i = 1, i  , и сравним их. Так как , то согласно (3.16) имеем

= b_i .

Согласно (3.15)

=

а) если , то =  b_i = ,

б) если , то = =  b_i = .

В любом случае  для всех i = 1, i  . Следовательно, , что означает, что деталь с номером должна обрабатываться последней из всех.

Алгоритм решения. Исходные данные занесем в таблицу 3.1:

Таблица 3.1.

Номер детали	1	2	…	n
Время обработки на станке 1	а1	а2	…	an
Время обработки на станке 2	b1	b2	…

1. Среди всех чисел а₁, а₂,…, a_n, b₁, b₂,…, b_n найдем наименьшее.

2. Если минимум равен , то деталь с номером в искомой последовательности будет первой. Из таблицы удаляем столбец .

3. Если минимум равен , то деталь с номером в искомой последовательности будет последней. Из таблицы удаляем столбец .

4. На усеченной таблице повторяем пункты 1-3.

Замечание. Если в ходе реализации алгоритма минимум определяется неоднозначно, причем = , то безразлично первой или последней пойдет на обработку деталь . Будем для определенности считать, что первой.

Пример. Пусть имеется 8 деталей, исходные данные для которых приведены в таблице 2.

Таблица 3.2.

Номер детали	1	2	3	4	5	6	7	8
Время обработки на станке 1	5	6	3	4	3	1	2	4
Время обработки на станке 2	5	8	5	3	2	2	4	5

0. Искомую последовательность запишем в виде (х, х, х, х, х, х, х, х)

1. Первый минимум равен a₆ = 1. Первой на обработку пойдет деталь №6: (№6, х, х, х, х, х, х, х). Вычеркиваем столбец 6.

2. Среди оставшихся чисел минимальным являются a₇ = b₅ = 2. Следовательно, второй (после детали №6) на обработку пойдет деталь №7, а последней в оптимальной последовательности будет деталь №5: (№6, №7, х, х, х, х, х, №5). Вычеркиваем столбцы 5 и 7.

3. Третий минимум равен 3 = a₃ = b₄ . Значит, третьей на обработку пойдет деталь №3, а предпоследней – деталь №4: (№6, №7, №3, х, х, х, №4, №5). Вычеркиваем столбцы 3 и 4.

4. В оставшейся таблице из трех столбцов минимальным числом является a₈ = 4, поэтому деталь №8 будет первой среди оставшихся: (№6, №7, №3, №8, х, х, №4, №5). Вычеркиваем столбец 8.

5. Остались не вычеркнутыми столбцы 1 и 2. Минимум равен a₁ = b₁ = 5. Согласно замечанию деталь №1 отправим на обработку перед деталью №2: (№6, №7, №3, №8, №1, №2, №4, №5).

Оптимальное время обработки всех деталей не изменится, если деталь №2 пойдет на обработку раньше детали №1: (№6, №7, №3, №8, №2, №1, №4, №5)

Найдем оптимальное время. Построим диаграмму, соответствующую процессу обработки деталей в указанной последовательности. Из диаграммы видно, что детали будут обработаны за 33 единицы времени.

станок1		6	7			3			8					2					1					4				5
станок2			6			7					3					8					2					1					4			5
время	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33

12