- •1. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: функциональный подход.
- •2. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: динамизация геометрических объектов на плоскости
- •3. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: динамизация геометрических объектов в пространстве
- •Установление области определения.
- •Установление области изменения при заданной области определения.
- •Установление способа движения по множеству значений, при указанном способе движения по области определения.
- •Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: аналогия, обобщение, конкретизация.
- •5. Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: Метод математической индукции
- •6 . Обобщенные приемы познавательной деятельности процесса поиска решения задач: использование классических неравенств.
- •7.Функциональный подход в поиске решений задач: использование монотонности.
- •8.Функциональный подход в поиске решений задач: ограниченность (метод крайнего).
- •9.Функциональный подход в поиске решений задач: четности.
- •10.Функциональный подход в поиске решений задач: решение задач, содержащих целую и дробную часть числа.
- •Виды задач
- •Методы решения
- •12. Олимпиадные задачи. Основы теории чисел: простые числа, алгоритм Евклида.
- •13.Олимпиадные задачи. Инварианты. Полуинварианты.
- •14. Олимпиадные задачи, решаемые с использованием принципа Дирихле.
- •15. Комбинаторные задачи, приемы и методы их решения
- •16. Задачи на раскраски, укладки, замощения.
- •17. Диофантовы уравнения.
- •18. Логические задачи, решаемые с помощью графов
- •19. Логические задачи, решаемые с помощью составления таблиц истинности.
- •20. Олимпиадные задачи с геометрическим содержанием
- •21. Задачи - игры
- •22. Олимпиадные задачи с параметрами. Методы их решения.
- •23. Применение векторов к решению аффинных задач в пространстве.
- •24.Применение векторов к решению метрических задач в пространстве.
- •25.Векторно-координатный метод определения угла между прямыми.
- •Алгоритм векторно-координатного метода:
- •26.Векторно-координатный метод определения угла между прямой и плоскостью.
- •27.Векторно-координатный метод определения угла между двумя плоскостями
- •Алгоритм векторно-координатного метода:
- •Решение:
- •28.Векторно-координатный метод определения расстояния между фигурами.
- •29. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений геометрической величины.
- •30.Цилиндр. Решение задач на нахождение элементов цилиндра.
- •31.Конус. Решение задач на нахождение элементов конуса.
- •32.Усеченный конус. Решение задач на нахождение элементов конуса
- •33.Шар и сфера. Решение задач на нахождение элементов шара и сферы.
- •34. Части сферы и шара. Решение задач на нахождение элементов частей сферы и шара.
- •35.Комбинация шара с цилиндром.
- •36.Комбинация шара с конусом и усеченным конусом.
- •37.Комбинация конуса и усеченного конуса.
- •38.Взаимное расположение двух сфер.
- •43.Описанные многогранники.
- •44.Вписанные многогранники.
20. Олимпиадные задачи с геометрическим содержанием
Наибольшие трудности у учеников на олимпиадах, как показывает результаты участия в олимпиадах разного уровня, а также проведения школьных и городских олимпиад, вызывают геометрические задачи. Хотя именно геометрия прекрасно развивает нестандартное мышление и выделяет людей, способных заниматься математикой. Данный тип олимпиадных задач является самым обширным. В основном в олимпиадные задачи по геометрии включают планиметрию. Это и задачи на разрезания, и на построение, и на нахождение углов, так же встречаются задачи на вписанные и описанные окружности и на доказательства.
Олимпиадные геометрические задачи можно разбить на три типа:
Задачи на построения.
Алгебраический и аналитический методы.
Задачи на вычисления.
на треугольники
на четырёхугольники
вписанные и описанные окружности около тр-ков и 4-ков
метод площадей
Задачи на доказательства.
Метод площадей
Подобие треугольников
Равенство углов
Задача на построение: Построить
21. Задачи - игры
Игра — тип олимпиадных задач по математике, в которых требуется проанализировать стратегию игры и/или назвать победителя этой игры. Обычно заканчивается традиционным вопросом: «кто выиграет при правильной игре?» Как правило, в задачах этого типа игры:
детерминированы
финитны
с полной информацией
включают ровно двух участников
с невозможной (по правилам) ничьей
Указанные задачи, как правило, не предполагают знания теории игр. Тем не менее, отдельные положения теории игр — интуитивно очевидные — могут использоваться.
Игровые олимпиадные задачи решаются при помощи следующих разделов математики:
Комбинаторика
Целые числа
Графы и раскраски
Диофантовые уравнения
Динамизация
Принцип Дирихле
Игровые задачи можно разделить на несколько видов. 1ый вид – это шахматные задачи. 2ой вид игровых задач – это задачи, в которых выигрышность доказывается «с конца»,
3ий вид задач – это задачи, в которых используется термин «правильная игра». «Правильной игрой» называется выигрышная стратегия, придерживаясь которой игрок выиграет при любых ответных действиях противника.
22. Олимпиадные задачи с параметрами. Методы их решения.
Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Комментарий. Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.
Основные типы задач с параметрами?
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений)..
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные способы (методы) решения задач с параметром?
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.