- •1.А. Выказванні і аперацыі над імі.
- •2.А. Прапазіцыйныя формулы. Таўталогіі, супярэчнасці, логікава эквівалентныя формулы. Прыклады.
- •5.A. Лагічная выснова. Раўназначныя азначэнні (у алгебры выказванняў).
- •8.А. Аксіяматычныя тэорыі. Выводныя формулы (тэорэмы), вывядзенне з мноства гіпотэзаў.
- •9.A. Злічэнне выказванняў. Формулы, аксіёмы, правіла вывядзення
- •13.A. Вынікі з тэарэмы дэдукцыі і сцверджанне: Адвольная тэарэма злічэння выказванняў ёсць таўталогія. Несупярэчлівасць злічэння выказванняў.
- •17.A. Тэарэма пра поўнасць (без доказу). Вынікі.
- •19.A. Прэдыкаты. Тоесна праўдзівыя, тоесна непраўдзівыя, здзяйсняльныя прэдыкаты. Раўназначныя прэдыкаты. Прыклады. Аперацыі над прэдыкатамі. Геаметрычная інтэрпрэтацыя аперацыяў над прэдыкатамі.
- •20.A. Формулы логікі прэдыкатаў. Інтэрпрэтацыя формулы. Раўназначнасць формулаў. Логікава агульназначныя формулы логікі прэдыкатаў. Лагічная выснова мноства формулаў. Прыклады.
- •3.B. Правіла падстановы. Адмаўленне да прапазіцыйнай формулы, якая змяшчае , , l. Прынцып дуальнасці (без доказаў).
- •6.B. Прапазіцыйныя формулы і булевы функцыі. Поўныя сістэмы злучнікаў (без доказу тэарэмы). Днф і кнф. Кан'юнкцыя адмаўленняў і штрых Шэфера.
- •10.B. Лема: ├ а а для адвольнай формулы a.
- •11.В. Тэарэма дэдукцыі (без доказу). Вынікі.
- •14.В. Лема 2 для тэарэмы пра поўнасць.
- •15.В. Лема 3 для тэарэмы пра поўнасць (без доказу).
- •21.В. Прыведзеная нармальная форма формулы логікі прэдыкатаў.
5.A. Лагічная выснова. Раўназначныя азначэнні (у алгебры выказванняў).
Азн. Прапазіцыйная формула А наз. лагічнай высновай прапазіцыйных ф-л В1,В2,...Вк,калі для ўсіх набораў значэнняў прапазіцыйных літараў якія уваходзяць у гэтыя ф-лы такіх,што лагічнае значэнне (Ві)=1, і=1,к ,(А)=1
Абазн.В1,...,Вк|=А.
прыклад:А,АВ, |=В
А В А В
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Зауважым А|=В з"яул. моцным сцв. калі |=А,тады |=В
Няхай В1,...,Вк,А-прапазіц. ф-лы(1)
Сцв1.В1,...,Вк |= А к. і т. к. В1,...ВК-1 у прыватнасці
В|=А к.і.т.к. |= (В А) (к>=1).
Сцв2.В1,...,Вк |= А к. і т. к. |=В1 (В2 ....
(Вк-1 (Вк А))...) (к>=1)
|= (В1В2...Вк А) (к>=2)
8.А. Аксіяматычныя тэорыі. Выводныя формулы (тэорэмы), вывядзенне з мноства гіпотэзаў.
Фармальная (аксіяматычная) тэорыя лічыцца вызначанай, калі выконваюцца наступныя ўмовы:
1)Ёсць злічонае мноства сымболяў тэорыі L.
2) Канцоўныя паслядоўнасці сымболяў тэорыі L наз выразам тэорыі L; вызначана падмноства
3)вывучана падмноства форм тэоры L, якія наз аксіёмамі тэорыі L
4)Ёсць канцоўнае мноства R1 ,R2,.., Rк дачынненяў паміж формуламі тэорыі L . Для кожнага i,і=1,к існуе натуральны j такі , што для адвольных j формулаў
А1 ,.., Аj і адвольнай формулы В можна сказаць, ці знаходзяцца формулы А1 ,.., Аj ,В у дачыннені Rі
Rі наз правіламі вывядзення, і калі А1 ,.., Аj ,В знаходзяцца ў дачыннені Rі тады кажуць,што В ёсць непасрэдным вынікам дадзеных j формула паводле правіла Rі.
Азн.1: Вывядзеннем у тэорыі L наз канцоўная паслядоўнасць формулаў А1 ,.., Ак такая, што для кожнага Aі ці аксіёма тэоры L, ці атрымана з некаторых папярэдніх формулаў паводле аднаго з правілаў вывядзення.
Азн.2: Формула В тэорыі L наз выводнай формулай, калі існуе вывядзенне А1 ,.., Ак , В= Ак
Азн.3: Няхай Г некаторае мноства формулаў тэорыі L. Формула В тэорыі L наз выводнай з мноства Г, калі існуе канцоўнае паслядоўнасць формулаў А1 ,.., Ак такая,што кожнага Aі ці аксіёма, ці элемент Г, ці атрыманага з некаторых папярэдніх формулаў паводле аднаго з правілаў вывядзення. В= Ак
Г |-- В
Элемент Г-гіпотезы
В ёсць вынік мноства гіпотэзаў Г
9.A. Злічэнне выказванняў. Формулы, аксіёмы, правіла вывядзення
Пабудуем нармальную тэорыю тэорыю L
1)Сымболямі тэорыі L зяўляюцца літары Ai- прапазіцыйным літарам , - прымітыуныя злучнікі (,)
2)(а) Усе прапазіцыйныя літары - формулы тэорыі L;
(в) Кал А ,В - формулы тэорыі L, то (А), (А=>В) - таксама формулы тэорыі L;
(с) іншых формулаў няма
3)Для адвольных формлаў А, В, С тэорыі L наступныя формлы - аксіёмы тэорыі L:
(А1) (А=>(В=>А));
(А2) (А=>(В=>С))=>((А=>В)=>(А=>С));
(А3) ((В)=>( А))=>(( В)=>А)=>В).
4)тэорыя L мае адзінае правіла вывядзення - правіла modus ponens (MP): В ёсць непасрэдны вынік формулаў А, А=>В.
Астатнія злучнікі алгебры выказванняў увядзем з дапамогаю абазначэнняў :
(АВ)=( (А=> (В) )
(АВ)=(( А)=>В) (1)
(А<=>В)=((А=>В) (В=>А))