- •Вопросы по курсу "методы оптимизации" 2011-2012 учебного года
- •1. Задачи и методы динамического программирования
- •2. Элементы выпуклого анализа, математическое программирование
- •3. Оптимальное управление
- •4. Вариационное исчисление
- •0. Понятие решения в скалярных и векторных задачах
- •1. Задачи и методы динамического программирования
- •2. Элементы выпуклого анализа, математическое программирование
- •3. Оптимальное управление
- •4. Вариационное исчисление
Вопросы по курсу "методы оптимизации" 2011-2012 учебного года
Примечание. Вопросы, выделенные красным цветом и зачеркиванием, в программе экзамена не представлены.
В конце приведен список основных понятий и фактов, которые необходимо знать на «удовлетворительно»
0. ПОНЯТИЯ РЕШЕНИЯ в задачах векторной и скалярной оптимизации.
1. Задачи и методы динамического программирования
1.1. Задачи с фиксированным временем начала и окончания. Постановка. Метод рекуррентных уравнений Беллмана (вывод и применение). Принцип Беллмана как необходимое и как достаточное условие (с доказательствами) в задачах с аддитивным критерием и критерием в виде максимума (использовать материалы лабораторной работы). Связь принципа Беллмана с уравнениями Беллмана. Обратные рекуррентные соотношения Беллмана (запись от начала процесса). Пример использования соотношений Беллмана (задача об оптимальном распределении с функцией дохода в виде квадратного корня).
1.2. Задачи с нефиксированной длительностью процесса.
Постановка. Обобщение уравнений Беллмана. Задачи поиска оптимальных путей на графах с неотрицательными весами ребер: метод Дейкстры и его обоснование, связь с принципом Беллмана. Задачи с векторными весами ребер. Оптимальные по Парето и Слейтеру решения, метод сверток (использовать материалы лабораторной работы).
2. Элементы выпуклого анализа, математическое программирование
2.1.Выпуклые множества,
выпуклые функции (выпуклость и строгая
выпуклость). Проекция точки на множество,
две леммы о свойствах проекции. Отделимость
точки и множества, строгая и сильная
отделимость, две теоремы об отделимости.
Свойства выпуклых функций (с
доказательствами, кроме свойства
непрерывности во внутренних точках),
критерии выпуклости. Субрадиент
и субдифференциал. Задача
выпуклого математического программирования
и ее свойства. Использование отсечений
при поиске минимума выпуклых функций
на выпуклом компакте.
2.2.Функция Лагранжа. Теоремы об условиях экстремума первого порядка в задачах математического программирования: в гладкой задаче с ограничениями–равенствами (теорема Лагранжа), в выпуклых гладких задачах с афинными ограничениями–равенствами (усиленная теорема Лагранжа), в негладкой задаче выпуклого мат.программирования с ограничениями–неравенствами и дополнительным ограничением и виде принадлежности выпуклому множеству (включая теорему о записи условий через седловую точку функции Лагранжа), в гладкой задаче выпуклого, мат.программирования с ограничениями–неравенствами и равенствами (теорема Каруша-Куна_Таккера), в общей гладкой задаче математического программирования (в последнем случае — без доказательства).
Понятие регулярности допустимой области в точке и регулярности области в целом. Достаточные условия регулярности для областей разных типов (условие Слейтера и условия линейной независимости).
2.3. Понятие метода поисковой оптимизации. Априорная и поисковая информация. Пассивные и последовательные алгоритмы. Принцип наилучшего гарантированного результата. Оптимальные и –оптимальные алгоритмы. Класс унимодальных функций, правило сокращения интервала. Построение оптимальных и –оптимальных пассивных N–шаговых алгоритмов, последовательного N–шагового алгоритма (метод Фибоначчи). Неоптимальные алгоритмы: методы золотого сечения и дихотомии. Связь метода Фибоначчи с методом золотого сечения.
Метод
поиска минимума выпуклой функции на
выпуклом многограннике, основанный на
минимизации нижней оценки выпуклой
функции. Сведение к последовательности
задач линейного программирования.
2.4. Задачи поиска
локального экстремума в задачах без
ограничений. Общая структура итерационных
методов локального поиска. Порядок
метода. Линейная, сверхлинейная и
квадратичная скорость сходимости.
Критерии выбора шагового множителя.
Алгоритмы Армихо, Вулфа,
одномерной минимизации. Классические
методы локального поиска и их свойства:
градиентные методы и метод Ньютона.
Теоремы сходимости для этих методов,
свойства. Методы прямого поиска на
примере метода Хука-Дживса.
Общие представления о других методах локальной оптимизации: Ньютона–Рафсона, квазиньютоновские, Флетчера–Рифса (по материалам лабораторной работы, непосредственно в билетах этого вопроса не будет).
2.5. Общие методы решения задач с ограничениями. Метод внешних штрафных функций, степенная функция штрафа. Влияние показателя степени на гладкость функции штрафа. Теорема сходимости.
2.6. Задачи
многоэкстремальной оптимизации.
Липшицевы функции и их свойства. Метод
Пиявского, теорема о свойствах. Версия
метода с использованием оценки константы
Липшица. Одномерный вариант метода
Пиявского — метод ломанных.
Информационно–статистический
метод.
Многомерные многоэкстремальные задачи. Метод деления на три, теорема о свойствах (с доказательством — самостоятельно). Обобщение метода деления на три на задачи с ограничениями-неравенствами.