6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип верхней грани.

Множество А R называется ограниченным сверху, если С, такое, что ; при этом такое число С называют верхней границей для А

Наименьшая из верхних границ множества А называется точной верхней границей, или верхней гранью, и образуется sup A – («Супренум А»)

ТЕОРЕМА (ПРИНЦИП ВЕРХНЕЙ ГРАНИ)

Непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань. Верхняя грань единственна.

ДОК-ВО:

Пусть А – непустое, ограниченное сверху множество

В:= множество верхних границ для А

А не пусто по условию

В не пусто, т.к. А ограничено сверху _.

Тогда по аксиоме полноты , что _.

Но это и означает, что С = sup A

Единственность

Пусть С и С’ верхние грани для А; тогда , тогда

7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Последовательностю элементов из множества х называется отображение из N в х

Последовательность Элемент обозначает

{ } – последовательность

ОПРЕДЕЛЕНРИЕ: Пусть {E_n} – последовательность множеств. Эта последовательность называется последовательностью вложенных множеств, если

(т.е. )

ТЕОРЕМА (Принцип вложенных отрезков).

Пусть {I_n} – последовательность вложенных отрезков

1). Тогда все эти отрезки имеют общую точку, т.е. , что

2). Если в этой последовательности {I_n}есть отрезки сколь угодно малой длины, то такая точка единственна.

ДОК-ВО: Пусть ;

A – множество левых концов

В – множество правых концов

Тогда: Множество А левее В (т.е. )

От противного: Пусть для некоторых n и m .

a_n b_m a_n b_n

не пересекаются – противоречит вложенности

Т.к. А , В , то по аксиоме полноты существует С, разделяющее А и В (т.е. , ) т.е.

З начит С – общая для всех отрезков.

Пусть С₁ и С₂

От противного: Пусть и

I_n

a_n C₁ C₂ b_n

C₁, С₂ ;

_{|In| - длина In=bn-an}

Т.е. длины всех I_n числа С₂-С₁>0

Что противоречит предположению, что в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины.

С₁>C₂ аналогично

Единственность общей точки доказана.

8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.

ОПР: ОКРЕСТНОСТЮ ТОЧКИ называется любой интервал, содержащий эту точку.

(т.е. - окрестность т. )

U - окрестность точки

o U	- проколотая окрестность (точка а не входит)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Точка называется предельной точкой для если в любой её окрестности содержится бесконечно много точек из Е (Для конечных множеств)

ТЕОРЕМА (принцип предельной точки)

Для любого бесконечного ограниченного множества Е существует хотя бы одна предельная точка.

ДОК-ВО:

1). Е ограничено тогда и только тогда, когда существует верхняя граница (С₂), существует нижняя граница (С₁) Т.е.

Е

С₁ С₂

Это означает, что

От противного: Пусть нет предельных точек на Е. Тогда не предельная для Е

Т.е. для Ux для х, в которой содержится конечное число точек из Е.

Рассмотрим систему интервалов Эта система – покрытия (т.к. ) (По принципу конечного покрытия) Существует конечное подпокрытие этого покрытия Но в каждом конечное число точек из Е. Значит все вместе покрывают конечное число точек из Е

НО покрывает _, в - конечное число точек.

Противоречие. Теорема доказана.