Свойства отношений:
1) Отношение R, заданное на множестве X, обладает свойством рефлексивности если каждый элемент данного множества вступает в отношение R с самим собой.
На графе это представлено следующим образом: около каждого элемента множества Х присутствует стрелочка.
Н
а
множестве натуральных чисел рефлексивными
свойствами обладают отношения кратности,
равенства, делимости.
2) Отношение R, заданное на множестве X, обладает свойством симметричности, если из того, что какой-либо элемент х из множества Х вступает в отношение R с элементом у из множества Х, следует, что элемент у вступает в отношение R с элементом х.
На графе: если есть стрелочка от одного элемента к другому, то обязательно имеется стрелочка в обратном направлении.
Отношение равенства + между прямыми отношения параллельности и перпендикулярности.
3
)
Отношение R,
заданное на множестве X,
обладает свойством антисимметричности,
если для различных элементов х и у из
множества X
из того, что элемент х вступил в отношение
R
с элементом у следует, что элемент у в
отношение R
с элементом х не вступает.
На графе: стрелочка направлена в одну сторону.
Отношения кратности, делимости, больше (меньше) на …
4) Отношение R, заданное на множестве X, обладает свойством транзитивности, если из того, что элемент х из множества Х входит в отношение R с элементом у из множества У и элемент у входит в отношении R с элементом z из множества Х, следует, что элемент х входит в отношение R с элементом z.
Н
а
графе :
Отношения кратности, делимости, параллельности между прямыми.
Отношение R, заданное на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности.
Для того, чтобы выяснить, является ли отношение, заданное на множестве, отношением эквивалентности, достаточно выявить, какими свойствами это отношение обладает.
Теорема: Если на множестве Х задано отношение R, которое является отношением эквивалентности, то данное множество при помощи указанного отношения разбивается на классы, которые называются классами эквивалентности.
(Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, Х3,…Хn, где Х1, Х2, Х3,…Хn – подмножества множества Х, если выполняются 2 условия:
1. подмножества Х1, Х2, Х3,…Хn попарно не пересекаются
2. в объединении дают исходное множество.
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, считается, что разбиение на классы не произошло).
Верна и обратная теорема: если на множестве задано некоторое отношение, с помощью которого это множество разбивается на классы, то данное отношение будет являться отношением эквивалентности.
Указанные теоремы позволяют найти еще один способ проверки того, является ли отношение, заданное на множестве, отношением эквивалентности.
Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.
Множество X называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Примеры заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых происходит:
а)
разбиение на классы с помощью отношения;
б)
упорядочение заданных множеств.
а)
Какие из фигур на рисунке имеют одинаковую
площадь? [На рисунке фигуры разбиты на
клеточки; Р1=9, Р2=9, Р3=6, Р4=9, Р5=12, Р6=4, Р7=6,
Р8=12. Отношение X:
«иметь одинаковую площадь». Х={(Р1; Р2);
(Р1;Р4); (Р2; Р1); (Р2; Р4); (Р1; Р1); (Р2; Р2); (РЗ;
Р7); (РЗ; РЗ); (Р4; Р1); (Р4; Р2); (Р4;Р4); (Р5;Р5);
(Р5; Р8); (Р6; Р6); (Р7; Р7); (Р7; РЗ); (Р8; Р8); (Р8;
Р5)}]
б)
На рисунке даны 4 отрезка. Какие из этих
отрезков длиннее других? [а=4, b=2,
с=6,
d=8;