![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1. Пространство и его подмножества
- •§ 2. Функция n переменных, ее предел и непрервность
- •§ 3. Частные производные и дифференциал функции n, n2,
- •Обозначают введенную этим определением частную производную символами fх′(m0) или fх′(x0,y0) , а также
- •§ 4. Неявные функции.
- •§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
- •Пусть , а - любое, удовлетворяющее условиям . Взяв , удовлетворяющее указанным условиям, выберем для этого число такое, что и обозначим: . Имеем: , причём ;
- •§ 6. Условный экстремум
- •6. 3. Метод Лагранжа
- •В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем:
- •Литература
- •§ 1. Пространство и его подмножества
- •Пространство …………………………. 3
- •§ 2. Функция n переменных, её предел и непрерывность
- •§ 3. Частные производные и дифференциалы
- •§ 4. Неявные функции
- •§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
- •§ 6. Условный экстремум
6. 3. Метод Лагранжа
Чтобы применить метод исключения переменных, нужно построить функ- цию φ(х) = f (х , y1(x), y2(x), …, ym(x)), а это возможно только тогда, когда най- дено решение y1(x), y2(x),…, ym(x) системы (3). Однако, найти его удаётся далеко не всегда. Метод Лагранжа обходит указанное препятствие, поскольку, хотя метод и опирается на существование решения y1(x), y2(x), …, ym(x), он не требует, чтобы решение было найдено.
Пусть
функция f
(х,у)
непрерывно дифференцируема на множестве
Х
, а u0
= (х0
,у0)
является точкой условного экстремума
этой функции при нали- чии уравнений
связи (3), и пусть система (3) и точка u0
удовлетворяют требо- ваниям условия
теоремы 1. Тогда х0
– точка
свободного экстремума функции φ(х)
= f
(х ,
y1(x),
y2(x),
…, ym(x))
, где y1(x),
y2(x),…,
ym(x)
– решение системы (3) в некоторой
окрестности U(δ).
Очевидно,
φ(х)
дифференцируема в х0
, значит, х0
–
стационарная точка этой функции; поэтому
(см. замечание,
п.2, § 5)
для любого
.
Обозначим:
φk(x)
=Fk(x,
y1(x),
y2(x),
… , ym(x)),
k
= 1,2, …,m
. Так как y1(x),
y2(x),…,
ym(x)
– решение системы (3), то φk(x)
≡ 0 в U(δ),
k
= 1,2, …,m;
следовательно
при любых
.
Составим выражение:
+
λ
+
λ
+…+
λ
,
(5)
где λ
,
λ
, …, λ
- некоторые
числа ( их называют множителями Лагранжа).
Очевидно, сумма (5)
равна
нулю при
любом
.
В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем:
,
где
dyi
=
,
i=
1,2,…,m.
Подставим эти выражения в (5):
+
=
=
+
+
+λ(
+
+
+λ
(
+
+
…………………………………………………………………………………..
+λ(
+
+=
=…
… +
+
…
… +
.
На выбор чисел λ
,
λ
, …, λ
не были
наложены какие –либо ограничения.
Потребуем теперь, чтобы набор λ
,
λ
, …, λ
удовлетворял системе линей- ных
алгебраических уравнений, которую мы
получим приравняв нулю выра- жения при
дифференциалах dy1,
dy2,
…,dym:
(6)
Определитель
этой системы представляет собой
транспонированный якобиан функций
,
1,2,
…, m,
по переменным
у1,у2,
…,уm
в точке u0;
значит, он отличен
от нуля;
поэтому система имеет единственное
решение – обозна- чим его через λ
,
λ
, …, λ
.
Подставив эти числа в (5), для любых
,
будем
иметь:
+
=
,
Так
как здесь
произвольны, то в каждом слагаемом
последней суммы выражение в скобках
равно нулю:
(7)
……………………………………………
Итак,
координаты точки условного экстремума
u0
и множители Лагранжа λ,
λ
, …, λ
удовлетворяют системе равенств (3), (6) и
(7) – всего n+2m
равенств.
Пусть
u
,
u
= (
х1,х2,
… ,хn,
у1,у2,
… ,уm)
, а λ
,
λ
= (λ1,λ2,…,λm).
Поло- жим:
L(u,λ)
= f(u)
+
.
L(u,λ)
есть функция n
+ 2m
аргументов
х1,х2,
… ,хn,
у1,у2,
…,уm,
λ1,λ2,…,λm.
Её называют вспомогательной функцией
Лагранжа. Приравняв нулю частные
производные этой функции по всем её
аргументам и сопоставив полученную в
результате систему n
+ 2m
уравнений
с равенствами (3), (6) и (7), приходим к
заключению: если u0
является
точкой условного экстремума функции f
(х,у)
при наличии уравнений связи (3), то точка
(u0,
λ
,
λ
,…,
λ
),
где λ
,
λ
,
…, λ
найдены из системы (6), является стационарной
точкой функции Лагранжа L(u,λ).
Итак, пусть функция f (х,у) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки u0 =(х0 ,у0) и пусть система (3) и точка u0 удовлетворяют требованиям условия теоремы 1. Если u0 является точкой условного экстре- мума, то среди стационарных точек функции Лагранжа имеется такая, что набор её первых n + m координат есть координаты точки u0.
Пусть найдены все стационарные точки функции Лагранжа. Набор пер- вых n + m координат каждой из них есть координаты точки, подозрительной на условный экстремум функции f (х,у) – функция f (х,у) может иметь услов- ный экстремум только в таких точках. Однако, вообще говоря, не всякая по- дозрительная точка оказывается точкой условного экстремума на самом деле. Чтобы выяснить, имеется ли в данной подозрительной точке условный экст- ремум нужно её исследовать с помощью достаточного признака.
Пусть
(u0,
λ,
λ
,…,
λ
)
– стационарная точка функции Лагранжа.
Тог- да u0–
точка, подозрительная на условный
экстремум. Рассмотрим систему уравнений:
(8)
Левые
части этих уравнений представляют собой
дифференциалы функ- ций Fk(u)
= Fk(u1,u2,
… ,un+m),
k
= 1,2, …,m,
в точке u0
.
Относительно диффе- ренциалов
hj
=
duj,
j
= 1,2,…,n+m,
это однородная система m
линейных
алге-браических уравнений
. Так как в
точке u0
якобиан
функций Fk(u)
= Fk(u1,u2,
… ,un+m),
k
= 1,2, …,m,
по переменным
у1=
un+1,
у2 =un+2,
… , уm=
un+m
отличен от нуля, то ранг матрицы системы
(8) равен m
; следовательно, множество её решений
есть линейное подпространство в
размерности n.
Обозначим это подпространство через
H
.
Допустим,
что функции Fk(u),
k
= 1,2, …,m,
и f
(u)
дважды
непрерывно дифференцируемы в некоторой
окрестности точки u0.
Тогда и
функция L(u,λ0)
= f(u)
+
обладает таким свойством. Запишем её
второй дифференциал в точке .
u0:
.
Здесь h
= (h1,h2
,…
….,hn+m).
Дифференциал
представляет
собой квадратичную форму от n+m
переменных
h1,h2
,…
,hn+m.
Мы будем
говорить, что эта форма положи- тельно
определена ( отрицательно определена)
на множестве H,
если для
лю- бого ненулевого вектора h,
принадлежащего
множеству H,
справедливо
>
0 (
<
0). Мы назовем
форму
знакопеременной
на мно- жестве H,
если в этом
множестве существуют векторы h1
и
h2
такие, что
и
.
Теорема 3. ( Достаточный признак условного экстремума)
Пусть
(u0,
λ,
λ
,…,
λ
)
= (u0,λ0)
– стационарная точка функции Лагран-
жа L(u,λ)
= f(u)
+
,
и пусть функции f
(u)
и Fk(u),
k
= 1,2, …,m,
дважды
непрерывно дифференцируемы в некоторой
окрестности точки u0.
Если форма
положительно
определена (отрица- тельно определена)
на множестве H,
то u0
является
точкой строгого условно- го минимума
(строгого условного максимума) функции
f
при наличии урав- нений связи (2). Если
же на
есть
знакопеременная форма на множест- ве
H,
то u0
не
является точкой условного экстремума
функции f
.
Доказательство этой теоремы можно найти в [1].
Пример
3.
Изложим
решение задачи примера 2 методом Лагранжа.
Име- ем:
,
.
В отличие от приме- ра 2 положим
.
Этот выбор обьясняется тем, что расстояние
между точкой
параболы и точкой
прямой и квадрат этого расстояния
достигают своей наименьшей вели- чины
одновременно, т.е. для одной и той же
пары точек, а производные от
проще, чем производные от
.
Составим вспомогательную функцию
Лагранжа:
+
Составим систему
уравнений, приравняв нулю частные
производные функции
:
Из
третьего и четвёртого уравнений:
.
Отсюда и из вто- рого уравнения:
,
значит,
.
Подставив
в первое уравнение, получим:
.
Значит либо
0
, либо
.
Если допустить
0,
то тогда и
0;
отсюда:
,
т.е. точки
и
совпадают, а это невозможно, так как
парабола и прямая не пересе- каются.
Следовательно,
.
Отсюда и из пятого уравнения:
.
Подставив найденные значения х1
и у1
в равенство
,
получим:
.
Отсюда и из шестого уравнения найдем:
.
Теперь найдём
и
:
.
Таким образом, найдена стационарная
точка функции Лагранжа:
.
Значит,
u0
-
единственная подозрительная на условный
экстремум точка; как и следовало ожидать,
она совпала с точкой , найденной в примере
2. Исследуем u0
с помощью
достаточного признака. Запишем
дифференциал второго порядка функции
в
точке u0:
.
Дифференцируя уравнения
связи в точке u0,
найдём:
.
Введя эти значения
и
в
выражение
,
получим:
=
.
Отсюда ясно, что если хотя бы один из
дифференциалов
и
отличен от нуля, то
>
0. Следовательно, u0
- точка
строгого условного минимума.
Впрочем, вывод о характере u0 можно было бы сделать и не подвергая её исследованию. Из геометрического содержания задачи очевидно, что точка условного минимума существует. Она обязана быть точкой, подозрительной на условный экстремум. Но имеется только одна подозрительная точка - u0 . Значит, u0 и есть точка условного минимума.