Логические схемы

Из трех логических операций конъюнкции, дизъюнкции и инверсии (отрицания), выполняемых соответствующими элементами конъюнктром, дизъюнктром и инвертором, можно реализовать любые логические выражения.

А 1 1 0 0	В 1 0 1 0	Результат 1 0 0 0	А 1 1 0 0	В 1 0 1 0	Результат 1 1 1 0	А 1 0	0 1
Конъюнктор			Дизъюнктор			Инвертор

Построение логических схем

Правило построения логических схем:

1. Определить число логических переменных;

2. Определить количество логических операций и их порядок;

3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль;

4. Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

П 4.5. Пусть Х = истина, Y = ложь. Составить логическую схему для следующего логического выражения: F = X Y X.

1. Две переменные – X и Y;

2. Две логические операции: 2 1

X Y X;

3. Строим схему:

Ответ: 1 V 0 Λ 1 = 1.

П 4.6. Построить логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X Y . Вычислить значения выражения для Х = 1, Y = 0.

1. Переменных две: Х и Y;

2. Логических операций три: конъюнкция и две дизъюнкции: 1 4 3 2

X Y ;

3. Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

4. Вычислим значение выражения: F = 1 0 = 0.

Тестовые задачи

Т 4.9. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений:

1. F = (X ) Z.

2. F = X Y X.

3. F = (Y X).

4. F = (Z Λ Y).

Т 4.10. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание:

(X > 4) \/ ((X > 1) → (X > 4))?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Т 4.11. Постройте логическое выражение по логической схеме:

а) б)

в) г)

Законы логики

Рассмотрим 6 законов логики и преобразование импликации:

1) коммутативность: A  B=B  A , A  B = B  A;

2) ассоциативность: A  (B  C) = (A  B)  C,

A  (B  C) = (A  B)  C;

3) отрицание операнда: A  =F ,  A=T , =A , =T;

4) дистрибутивность: A  (B  C) = (A  B)  (A  C),

A  (B  C) = (A  B)  (A  C);

5) поглощения операнда

A  (A B) = A  (A  B) = А;

6) отрицание формулы (законы де Моргана):

.

5. преобразование импликации

A B =  B.

Законы логики часто используют для упрощения логического выражения.

П 4.7. Упростить логическое выражение .

1) Избавимся от отрицания, используя закон 6 де Моргана

;

2) Применим закон поглощения операнда к формуле , тогда .

П 4.8. Упростить логическое выражение F = (A→B)(B→A).

1) Избавимся от импликации (A→B) и (B→A), используя преобразование 7

(A→B)(B→A) = ;

2) Сгруппируем и применим закон 3 отрицания операнда

.

Тестовые задачи Упростить выражения:

Т 4.12. а) . 4.13. а) ;

б) . б) ;

в) в) .

Преобразование высказываний в логическую формулу осуществляется следующим образом:

- выделяют простые высказывания и обозначают их латинскими буквами;

- записывают условия задачи на языке алгебры логики.

П 4.9. Синоптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Решение:

1. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

А – «Ветра нет».

В – «Пасмурно».

С – «Дождь».

2. Запишем логические функции (сложные высказывания).

а) «Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя» – ;

б) «Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра» – ;

в) «Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра» – .