Вопросы для самопроверки:

1. Какая функция называется бесконечно малой?

2. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?

3. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

4. Дайте определение непрерывной функции в точке и на промежутке (а;в).

Тема 3. Дифференциальное исчисление

Полезно выписать производные основных элементарных функций для случая, когда аргумент этих функций U есть в свою очередь функция от независимой переменной х, т.е. U=U(x):

1. , ; 2. ,

3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. ;

Данные производные позволяют дифференцировать всякую сложную функцию, которая представляет собой цепочку основных элементарных функций. Если , то и вышеприведенный перечень упрощается:

1. , ;

2. , ;

3. ; и т.д.

Задача 1. Найти производную функции .

Решение:

Задача 2. Найти .

Решение: Тогда .

Если известна производная функции , то дифференциал функции может быть легко вычислен по формуле: .

Решение: Найдем производную .

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определение производной функции. Найдите производную функции с помощью определения производной.

2. Геометрический смысл производной функции.

3. Физический смысл первой и второй производной.

4. Сформулируйте правила дифференцирования сложных функций.

5. Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?

Тема 4. Приложения дифференциального исчисления

Согласно правилу Лопиталя, если функции и одновременно стремится к 0 или при , то .

Если отношение производных функций тоже имеет вид или , то можно снова применить правило Лопиталя и так несколько раз до получения результата.

Задача 1. Найти .

Решение:

При х, стремящемся к 0, числитель и знаменатель стремятся также к 0, т.е. имеем неопределенность вида и применимо правило Лопиталя:

При х, стремящемся к 0, числитель и знаменатель новой дроби стремятся к 0. По правилу Лопиталя:

По-прежнему имеем неопределенность вида , т.к.

Применяя еще раз правило Лопиталя, получаем:

Для отыскания экстремумов и промежутков монотонности функции поступаем следующим образом:

1. Находим производную .

2. Находим точки, в которых или не существует.

3. Разбиваем этими точками область определения на промежутки.

4. Методом проб определяем знак в этих промежутках и находим интервалы монотонности.

5. Применяем достаточное условие экстремума. Согласно ему точка, в которой определена, а меняет знак с минуса на плюс, есть точка минимума. Точка, в которой определена, а меняет знак с плюса на минус, есть точка максимума.

Задача 2. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

Решение: 1. ;

2. существует для .

3. Разбиваем значениями Х=1 числовую ось Х на промежутки:

4. и, следовательно, во всем промежутке Функция в этом промежутке возрастает.

и, следовательно, во всем промежутке и здесь функция убывает.

и, следовательно, в промежутке , а функция возрастает.

5. Из чертежа следует, что есть точка максимума, а есть точка минимума, а .