Примеры для решения

Пример 1.  Найдем уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением

в точке a(1, 2, −1) .

Решение.

1. Точка a(1, 2, −1) лежит на данной поверхности, так как при подстановке ее координат в уравнение поверхности получаем тождество:

2. Функция F(x,y,z) = x³ + y³ + z³ + xyz − 6 дифференцируема при всех x, y, z . Вычисляем значения ее частных производных в точке a(1, 2, −1):

является нормальным к данной поверхности в точке a .3. Составляем уравнение касательной плоскости

и уравнения нормали

Пример 2.  Проведем касательную плоскость к поверхности, заданной уравнением.перпендикулярно прямой

Решение.

1. Пусть искомая касательная плоскость проходит через точку M₀ (x₀, y₀, z₀) . Тогда нормальным к поверхности будет вектор {2x₀, −2y₀, − 3} . Этот вектор должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой {4, 2, 3}. Поэтому

2. Так как точка M₀ (x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности x² − 2y² − 3z² = 0 , третью координату z₀ определим из уравнения x₀² − y₀² − 3z₀ = 0 . Получаемz₀ = 1 .

Таким образом, нормальный вектор

и искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:

Пример 3. Найдем уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением

в точке a(2, 1, 4)

1. Точка a(2, 1, 4) лежит на данной поверхности, так как при подстановке ее координат в уравнение поверхности получаем тождество.

2. Уравнение поверхности представим в виде:

2. Функция F(x,y,z) = 2   − 4 − z дифференцируема при всех x, y, z . Вычисляем значения ее частных производных в точке a(2, 1, 4) :

является нормальным к данной поверхности в точке a.

Пример 4.  Покажем, что поверхность

в точке O(0, 0, 0) не имеет нормали и, следовательно, касательной плоскости.

Решение.

1. Находим частные производные функции F(x,y,z) = x² + y² − z²

В точке O(0, 0, 0) F'²_x + F'²_y + F'²_z = 0 , поэтому эта точка особая. А так как она является вершиной конуса (см. рис. 1), то очевидно, что нормального к поверхности вектора в этой точке нет, так же как нет и касательной плоскости.

Пример 5. На основании некоторого эксперимента получены данные

	1	2	3	5
	3	4	2,5	0,5

Нанесем эти значения на координатную плоскость, визуально исследуем расположение точек. В данном случае можно допустить линейную зависимость y от

величины x , т.е..+ x. Строим вспомогательную функцию

и тогда система имеет вид

Вычислим коэффициенты

Подставим в систему

По методу Крамара получим . . В результате получаем функцию

8. 

9. Задачи

1. Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания называется:

1).вектором 2).нормалью 3).трендом 4).функтором 5).ротором

2. Чтобы поверхность S имела касательную плоскость в ее точке необходимо и достаточно, чтобы функция f (x, y) была в точке :

1).дифференцируемой 2).разрывной 3).сложной 4).линейной 5).голоморфной

3. Составить уравнение касательной плоскости (α) к поверхности − x2 + в точке :

1).2x + 2y − z −1 = 0 2).2x + 2y + z − 3 = 0

3).2x + 2y − 2z + 6 = 0 4).2x − 2y + z −1 = 0 5).2x + 2y + z +1 = 0

4. Составить уравнение касательной плоскости (α) к поверхности в точке :

1).2x + 2y − z −1 = 0 2).2x + 2y + z − 3 = 0

3).2x + 2y − 2z + 6 = 0 4).2x − 2y + z −1 = 0 5).2x + 2y + z +1 = 0

5. Составить уравнение касательной плоскости (α) к поверхности в точке :

1).2x + 2y − z −1 = 0 2).2x + 2y + z − 3 = 0

3).2x + 2y − 2z + 6 = 0 4).2x − 2y + z −1 = 0 5).2x + 2y + z +1 = 0

В результате эксперимента получены данные, выписанные в виде таблицы. Методом наименьших квадратов требуется установить функциональную зависимость величины y от величины x : y = f(x)

1

2

3

4

5

	1		2		3		5
		10		3		5		9

	1	2	3	5
	3	4	5	4

	0.5	1		3			5
	0.5		4		9	20

		1		2.5		3.4		5.3
	3		1		0		4

		1		2		3		5
	3		4		2,5		0,5