Лекция 2.

Аналитическая геометрия на плоскости

Декартова и полярная системы координат

Декартова прямоугольная система координат

Введем декартову прямоугольную систему координат как частный случай пространственной декартовой системы координат. В качестве базисных векторов выберем единичные векторы и , направленные вдоль осей , и соответственно.

Тогда началу координат соответствует пара чисел , точка имеет координаты . При этом любой точке плоскости соответствует единственная пара чисел из области .

Рисунок 1.

Полярная система координат

Иногда выгоднее использовать другую систему координат – полярную. Вводится она следующим образом. Выберем некоторую точку плоскости и назовем ее полюсом, проведем через нее ось, называют ее полярной осью. Расстояние от полюса до некоторой точки обозначим , угол между полярной осью и лучом, соединяющим полюс с произвольной точкой плоскости – полярный угол – обозначим . Тогда паре чисел соответствует точка

плоскости. Считая ,

Рисунок 2.

получаем, что в полярной системе координат каждой точке плоскости (кроме полюса!) также соответствует единственная пара чисел - полярные координаты точки. Полюсу соответствует бесчисленное множество пар чисел , причем может принимать любые значения в указанной выше области. Это является недостатком полярной системы координат, однако, польза от принятия данной координатной системы часто перекрывает указанный недостаток.

Пример. Паре чисел соответствует точка, лежащая на луче, проведенным под углом к полярной оси, причем расстояние от полюса до этой точки равно 2.

Связь между полярной и декартовой системами координат

Совместим две системы координат, как это показано на рисунке 3. Из рисунка следует, что , в то же время . С помощью этих формул в случае необходимости осуществляется пере

Рисунок 3.

ход от одной системы координат к другой. Так, точка с полярными координатами , имеет декартовы координаты , .

Расстояние между двумя точками плоскости

Пусть в декартовой системе координат точки заданы координатами и . Тогда вектор . Его длина и есть расстояние между этими точками. Очевидно

.

Площадь треугольника, заданного вершинами

Если треугольник задан вершинами , , , то .

Формула получается из формулы для площади пространственного треугольника, выведенной в лекции по векторной алгебре.

Пример. Определить длину стороны и площадь треугольника , если , , .

.

.

Прямая на плоскости

Известно несколько фактов, которые могут быть прияты за определение прямой. Например: а) через заданную точку в заданном же направлении можно провести только одну прямую, б) через любые две точки проходит единственная прямая и так далее.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном

направлении

В декартовой системе координат (рисунок 1) зададим точку и вектор . Запишем уравнение прямой, проходящее через эту точку в направлении вектора .

Пусть точка - произвольная точка этой прямой, тогда векторы и

коллинеарны, и их проекции пропорциональны , откуда следует , где , причем угол между вектором , а, следовательно, и прямой, с осью . Обычно называют угловым коэффициентом прямой.

Замечание. Уравнение соответствует любой прямой за исключением прямых, параллельных оси , поскольку в этих случаях не существует.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Даны две точки прямой и . Поскольку прямая проходит через точку , используем только что полученное уравнение . Потребуем, чтобы точка также принадлежала прямой, тогда . Очевидно, при получаем

. В результате или .

Это уравнение, очевидно, является уравнением всех прямых, кроме параллельных осям координат.

Математики договорились снять это ограничение. Теперь в уравнении может стоять нуль в знаменателе, но это не означает деления на нуль. Уравнению соответствует уравнение . Аналогично из имеем . В итоге является уравнением всех прямых на плоскости.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение можно привести к виду , причем b показывает расстояние между точкой пересечения прямой с осью ординат и началом координат. Ясно, что при прямая проходит выше, при - ниже начала координат, уравнение соответствует прямым, проходящим через начало координат.

Общее уравнение прямой

Доказано, что уравнению первой степени соответствует множество всех прямых на плоскости. Это уравнение называют общим уравнением прямой.

Кратчайшее расстояние от точки до прямой

Дана прямая и точка , кратчайшее расстояние от этой точки до прямой находится по формуле .

Углы между прямыми, условие их параллельности и перпендикулярности

Если прямые заданы уравнениями и , имеет место формула , где один из углов между прямыми.

Из формулы следует, что является условием параллельности прямых, а есть условие их перпендикулярности.

Применение уравнений прямой

1. Пересечение двух прямых.

Эта задача может решаться построением. Проще, однако, решать ее аналитически, задавая прямые своими уравнениями.

Имеем уравнения двух прямых и .

Ищем общие точки этих прямых, решая систему двух уравнений

. Известно, что система может иметь единственное решение, тогда это точка пересечения прямых, может не иметь решения, тогда прямые параллельны, и может иметь бесчисленное множество решения, в этом случае прямы совпадают.

Примеры.

1.  .

Прямые пересекаются в точке .

2. . Решаем задачу методом Гаусса

. Решения нет, прямые параллельны.

3. Определить внутренний угол A в треугольнике с вершинами ,

, . Запишем уравнения сторон и , используя уравнение прямой, проходящей через начало координат и две точки:

,

.

Поскольку требуется определить внутренний угол треугольника, он измеряется против часовой стрелки, а формула для тангенса угла несимметрична, в качестве первой прямой следует принять , второй , тогда  . В результате .

4. Определить длину и уравнение высоты того же треугольника из вершины О.

Уравнение стороны уже известно, представим его следующим образом . Используем формулу кратчайшего расстоянии от точки О до прямой . Это и является искомой длиной высоты. Запишем уравнение этой высоты. Прямая проходит через точку О перпендикулярно стороне , следовательно, , где . Уравнение высоты .

5. Вычислить площадь треугольника .

Сделаем это двумя способами

а) используем формулу , тогда

,

в) Длина стороны , длина высоты из вершины О определена ранее . Площадь треугольника .