![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Электромагнетизм
- •Глава 1
- •Основные положения теории электромагнетизма.
- •Основные законы электростатики в вакууме.
- •Теорема Гаусса.
- •1.4. Дифференциальная форма теоремы Гаусса.
- •1.5. Работа сил электростатического поля.
- •Потенциал электростатического поля.
- •1.7. Потенциал и напряженность поля системы точечных зарядов.
1.5. Работа сил электростатического поля.
5.1. Работа электрического поля. Циркуляция вектора.
Пусть
заряд
в электростатическом поле совершает
перемещение
по
некоторой криволинейной траектории.
Работа
электрических сил
над
зарядом
на пути
находится интегрированием по всем
элементарным
участкам пути от точки
до точки
:
,
(5.1)
Из курса механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным или потенциальным. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле образованное системой неподвижных зарядов. Поэтому при любом выборе начальной и конечной точек работа сил поля не зависит от формы пути, а определяется только положением этих точек.
Поскольку любое
электростатическое поле можно, используя
принцип суперпозиции, представить как
поле, образованное совокупностью
точечных зарядов, полезно сосчитать
работу по перемещению пробного заряда
в поле неподвижного точечного заряда
.
Напряженность
поля точечного заряда
,
поэтому работа сил этого поля по
перемещению заряда
находится как
.
(5.2)
,
где
элементарное приращение вектора
.
Полученное
соотношение следует из приведенного
рисунка или может быть получено
дифференцированием тождества
.
В силу потенциальности электростатического поля работа его сил по замкнутому контуру равна нулю, т.е. можно записать
.
(5.3)
Это одно из фундаментальных уравнений электростатики (часть уравнения Максвелла), являющееся математическим выражением теоремы о циркуляции.
Интеграл,
стоящий в левой части уравнения (5.3),
называется циркуляцией
вектора
по замкнутому контуру
.
Интеграл в выражении (5.3) – линейный,
т.е. он берется по некоторой линии
(пути).
Термин “циркуляция ” происходит от латинского circulatio – круговращение. Он характеризует движение по замкнутой траектории и служит мерой завихренности движения.
Теорема
о циркуляции вектора
.
Циркуляция
вектора
в любом электростатическом поле равна
нулю.
Всякое векторное поле является потенциальным, если циркуляция этого вектора по любому замкнутому контуру равна нулю.
Примечание.
Из теоремы о циркуляции вектора
вытекает весьма важный вывод: линии
электростатического поля вектора
не могут быть замкнутыми.
-
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора
.
Пусть имеется векторное поле
.
(5.4)
Чтобы
получить математическое выражение
теоремы о циркуляции вектора
в дифференциальной форме, рассмотрим
бесконечно малый контур
на плоскости
,
ориентированный так, что ось
направлена на
нас (см.
рисунок). Направление обхода контура
выбрано так, что вектор обойденной
площадки направлен вдоль оси z
(т.е. в соответствии с правилом буравчика
смотрит на нас).
Найдем
циркуляцию вектора
по бесконечно малому контуру
:
.
(5.5)
Минус
в двух последних слагаемых появился
из-за того, что
и
отсчитываются в стороны, противоположные
направлениям соответствующих осей.
Рассмотрим отдельно слагаемые,
соответствующие отрезкам 1 и 2:
.
(5.6)
Здесь
- элементарная площадка, ограниченная
контуром
.
Аналогично на отрезках 3 и 4 получаем
.
(5.7)
Итак,
обходя весь бесконечно малый контур
,
получаем
.
(5.8)
Точно
так же можно выбрать маленькие площадки,
перпендикулярные к осям
и
.
Определяя циркуляцию вектора
по контурам этих площадок, получаем
совершенно аналогичные по форме
выражения:
.
(5.9)
.
(5.10)
Выражения
(5.8) – (5.10) можно рассматривать как
соответствующие компоненты скалярного
произведения некоего вектора, который
мы назовем ротором
вектора
и определим следующим образом:
(5.11)
и
вектора площадки
.
Поскольку сумму правых частей выражений (5.8) – (5.10) можно представить как
.
(5.12)
то
нормальную к площадке
составляющую ротора определяем следующим
образом:
.
(5.13)
Итак,
в каждой точке любого векторного поля,
например, поля вектора
,
можно определить вектор
,
направление и модуль которого связаны
со свойствами самого поля в данной
точке.
Для
поверхностей сложной формы направление
вектора
определяется тем направлением нормали
к поверхности
,
при котором достигается максимальное
значение величины, определяемой
выражением (5.13), являющееся одновременно
модулем вектора
.
Иная
запись ротора может быть формально
сделана через оператор
:
(5.14)
или в виде определителя:
.
(5.15)
Поскольку
для электрического поля циркуляция
вектора
по любому контуру равна нулю, то исходя
из (5.13), ротор (вихрь) вектора
также равен нулю. Т.о., для электростатического
поля имеем
.
(5.16)
-
Теорема Стокса.
Вернемся
к контуру
,
ограничивающему поверхность
.
Разобьем поверхность
на одинаковые маленькие площадки
,
выбрав одинаковые направления обхода
вокруг каждой из них. Стягивая эти
площадки к точке (
)
и устремляя длину каждого элементарного
контура
к нулю (
),
получим
.
Как
видно из рисунка, циркуляция вектора
по внутренним границам заполняющих
поверхность
площадок равна нулю. Поэтому отличной
от нуля будет лишь циркуляция вектора
по контуру
,
ограничивающему поверхность
.
В то же время в правой части уравнения
мы будем иметь сумму ( в пределе –
интеграл) произведений площади каждого
элементарного участка на нормальную
компоненту (
).
Т.о., мы приходим к равенству
,
(5.17)
выражающему широко используемую в математических преобразованиях теории поля теорему Стокса.
Теорема Стокса связывает линейный интеграл от произвольного вектора (интеграл слева берется по произвольному замкнутому контуру) с поверхностным интегралом от ротора этого вектора (интеграл справа берется по произвольной поверхности, натянутой на этот контур).