9. Интервальное прогнозирование по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной. (25 баллов)

Эконометрические модели предназначены прежде всего для объяснения (прогноза) эндогенных переменных по известным значениям предопределенных переменных. Прогнозировать по оцененной модели можно лишь тогда, когда она признана адекватной. Модель будем называть адекватной, если прогнозы значений эндогенных переменных согласуются в определенном смысле с наблюденными значениями переменных. Таким образом, процесс прогнозирования и проверка адекватности тесно взаимосвязаны.

Сущность процедуры прогнозирования обсудим на примере модели Кобба – Дугласа

Модель Кобба – Дугласа имеет следующий вид:

Логарифмирование нелинейного уравнения эконометрической модели приводит к линейной модели парной регресии:

После ее оценивания МНК

проверки адекватности и прогнозирования значения эндогенной переменной вычисляется прогноз Ỹ₀ величины Y₀ и среднеквадратичная ошибка S_Y0 этого прогноза

Ỹ₀=L₀·exp(ỹ₀)

Точностная характеристика прогноза всегда исчисляется по последней формуле.

Точечный прогноз нетрудно можно преобразовать в интервальный, построив замкнутый интервал [у₀^-, у₀⁺] с границами

Ỹ₀^-=L₀·exp(ỹ₀^-); Ỹ₀⁺=L₀·exp(ỹ₀⁺)

10. Множественная линейная регрессионная модель. Оценивание параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов. (25 баллов)

Множественная регрессия позволяет построить и проверить модель линейной связи между зависимой (эндогенной) и несколькими независимыми (экзогенными) переменными: y = f(x₁,...,x_р ), где у - зависимая переменная (результативный признак); х₁,...,х_р - независимые переменные (факторы).

Линейное уравнение множественной корреляции: y=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_px_p+ε

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение кото­рой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применён метод определителей: a=∆a / ∆, b₁=∆b₁ / ∆,…, b_p=∆b_p / ∆,

- определитель системы

∆a, ∆b₁,…, ∆b_p – частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

11. Определение границ доверительных интервалов точечных оценок множественной регрессионной модели. (25 баллов)

Множественная регрессия позволяет построить и проверить модель линейной связи между зависимой (эндогенной) и несколькими независимыми (экзогенными) переменными: y = f(x1,...,xр ), где у - зависимая переменная (результативный признак); х1,...,хр - независимые переменные (факторы). Для построения уравнения множественной регрессии чаще ис­пользуются следующие функции: Линейная – y=a+b1x1+b2x2+…+bpxp+ε Степенная - Экспонента - Гипербола - Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду Определение границ доверительных интервалов оценок параметров модели В условиях нормальной линейной множественной регрессионной модели, при построении доверительных интервалов оценок параметров t-статистика вида: Доверительный интервал имеет границы: где ta - табличное значение статистики Стьюдента с n-k степенями свободы для α%-го уровня значимости. Определение границ доверительного интервала прогноза зависимой переменной Доверительный интервал для отдельного (индивидуального) значения зависимой переменной строится с учетом рассеяния индивидуальных значений вокруг линии регрессии, т.е. с учетом ошибки регрессии: , где