- •Тема 2. Уравнения гиперболического типа . Уравнения малых поперечных колебаний упругой струны.
- •. Малые продольные колебания упругого стержня
- •.Малые поперечные колебания упругой мембраны
- •2.4º Электромагнитное поле в однородных средах
- •. Постановка краевых задач и их редукция.
- •. Свободные колебания бесконечной струны (стержня)
- •. Свободные колебания полубесконечной струны (стержня)
- •. Свободные колебания струны ограниченных размеров
- •2.80 Вынужденные колебания бесконечной струны
.Малые поперечные колебания упругой мембраны
Под мембраной будем понимать поверхность , опирающуюся на замкнутый контур .
Введём некоторые ограничения:
, где v- скорость точки мембраны.
Точки мембраны колеблются перпендикулярно плоскости, в которой она находится в положении равновесия.
– отклонение от положения равновесия точки с координатами в момент времени . Скорость перпендикулярна плоскости (х,у). Таким образом, любое сечение перпендикулярно плоскости и для него может быть построена задача, аналогичная 2.1º
б) Будем считать мембрану гибкой, т.е. силы натяжения направлены по касательной к мгновенному профилю.
.
Введём линейную плотность силы.
.
Колебания малы и происходят без растяжения мембраны:
, что дает:
.
Возьмём направление , в котором мембрана имеет наиболее крутой наклон и рассечём мембрану в этом направлении.
максимальный угол наклона касательной к оси х.
.
Градиент u направлен в сторону наибольшего возрастания функции U.
Проекции равны
, |
, тогда
.
Производная остаётся постоянной и не зависит от времени.
Участок мембраны при колебаниях не сдвигается в плоскости за время . Пусть
за время
за время . Получаем
условие отсутствия сдвига.
.
Если равны интегралы по произвольной области, то равны подынтегральные выражения.
и не зависит от .
Аналогично
, не зависит от . Следовательно,
.
Введем поверхностную плотность массы. Пусть малый элемент мембраны и масса мембраны, тогда
.
Используем второй закон Ньютона
,
.
Для малого элемента мембраны dS : , d=.
Для конечного по размерам участка ,
.
Получаем
.
Введем поверхностную плотность внешней силы
, , , тогда второй закон Ньютона перепишется в виде
.
Проектируем на ось
,
.
Теорема Остроградского – Гаусса имеет вид в двумерном случае
, где
. Тогда
;
. В нашем случае
.
Имеем интегральное равенство для произвольных областей, следовательно, равны подынтегральные выражения.
.
Воспользуемся теоремой о среднем:
, и получим
.
После предельного перехода
получаем
,
В отличии от одномерных задач (2.1) и (2.2) уравнение (2.3) является двумерным.
Проверяем размерность :
2.4º Электромагнитное поле в однородных средах
Запишем уравнения Максвелла в произвольной среде.
В однородной среде: , где λ- удельная электропроводность |
В вакууме
Запишем уравнения Максвелла в изотропной среде(λ,μ,ε- постоянны):
Известно векторное равенство
rot rot = grad div - ∆ .
Действуем операцией rot на первое уравнение.
Так как , то
,
.
Действуем операцией rot на второе уравнение.
,
.
Так как , то
. Получаем 6 уравнений для компонент векторов напряженности.
Введем полевую функцию
, для которой
,
Уравнение (2.4) – уравнение гиперболического типа, в соответствии с 1.6º , причем - – поглощение электромагнитным полем энергии.
В одномерном случае уравнение принимает вид: