- •14 ОбДифУр Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Дифференциальные уравнения их классификация
- •2. Уравнения первого порядка
- •3. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •4. Однородные уравнения первого порядка
- •5. Линейные уравнения
- •6. Уравнение Бернулли
- •7. Уравнения в полных дифференциалах
- •8. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
- •10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида
где - функции только , - функции только .
Предположив, что и и разделив уравнение на это произведение получим уравнение:
которое называют уравнением с разделенными переменными. Оно имеет общий интеграл
Корни уравнений , являются решениями исходного дифференциального уравнения.
Первое слагаемое есть функция только от , второе слагаемое - только от , поэтому можно записать
,
Или .
Пример. Решить дифференциальное .
Приведем это уравнение к виду, с разделенными переменными
,
Отсюда
.
Проинтегрируем, получим .
Отсюда .
Задача о распаде радиоактивного вещества.
Скорость распада радиоактивного вещества пропорционально массе вещества. Найти закон распада и период полураспада.
Имеем . В начальный момент - . Преобразуем уравнение к виду . Проинтегрируем: . Преобразуем . Используя начальные условия, получим . Отсюда .
Найдем теперь выражение для – периода полураспада, т.е. времени, в течение которого распадется половина всех ядер исходного вещества. По условию . Подставим в решение
,
отсюда , , , , , , .
4. Однородные уравнения первого порядка
Функция называется однородной степени , если для любых выполняется тождество
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется однородным, если и - однородные функции одной и той же степени.
С помощью новой переменной , вводимой по формуле
однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример. Проинтегрировать уравнение .
Введем новую переменную по правилу , получим
Подставим в исходное уравнение:
Преобразуем
Перепишем получившееся уравнение в виде:
Проинтегрируем левую и правую части:
Вернемся к "старым" переменным:
5. Линейные уравнения
Уравнение вида
или
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций
Следовательно,
Подстановка выражений для и в исходное уравнение приводит его к виду
Отсюда
Это уравнение приводят к более простому виду, полагая выражение в круглых скобках равным нулю:
Тем самым мы получаем уравнение для определения .
Тогда функция определяется уравнением
.
Пример.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде . Найдем производную от этого выражения: . Значения и подставим в исходное уравнение:
Перегруппируем его
В качестве выбираем одну из функций, обращающих в нуль коэффициент при - круглую скобку:
Разделив переменные, получим
Откуда
Или, после операции потенцирования:
.
Не теряя общности, положим . Отсюда получаем выражение для .
Для определения остается уравнение
Подставив сюда найденное значение , получим:
, или
из которого определяем . Соответственно, общее решение будет иметь вид:
Также можно воспользоваться методом вариации произвольной постоянной, который состоит в следующем. Сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения . Далее величину , входящую в это уравнение, полагают функцией и находят ее.