- •1. Линейные пространства
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.
- •Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите, что координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
- •Что называется размерностью линейного пространства ? Может ли система из векторов, где , являться базисом - мерного пространства ? Ответ обоснуйте.
- •Пусть - векторы из . Можно ли составить базис пространства из линейных комбинаций этих векторов? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте.
- •Какие из множеств, образованных всевозможными векторами из такими, что а) , б) , в) , являются подпространствами в , а какие нет? Ответ обоснуйте.
- •2. Системы линейных уравнений
- •Какие системы уравнений называются определенными, неопределенными, несовместными? Приведите примеры. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместимой?
- •Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.
- •Как связаны решения совместной неоднородной системы линейных уравнений и однородной системы ? Приведите пример.
- •Дайте определение фундаментального набора решений однородной системы линейных уравнений. Приведите пример системы и найдите ее фундаментальный набор решений.
- •Найдите фундаментальный набор решений системы:
- •Пусть дан фундаментальный набор решений некоторой однородной системы: , . Укажите другой фундаментальный набор решений этой системы. Ответ обоснуйте.
- •3. Евклидовы пространства
- •Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.
- •4. Матрицы и определители
- •5. Комплексные числа
- •6. Линейные операторы в пространстве
- •Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.
- •Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.
- •Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.
- •Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
- •Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.
- •Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3
- •7. Квадратичные формы
- •Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы:
- •Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь матрица порядка 3*3
- •Покажите, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметрической матрицы, ортогональны.
- •Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
- •Приведите форму к нормальному виду методом Лагранжа.
- •Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы от трех переменных.
- •8. Прямые и плоскости в точечном пространстве
- •Что представляет собой пересечение двух ортогональных плоскостей в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •9. Кривые второго порядка
- •Запишите общее уравнение линии второго порядка. Какое геометрическое место точек определяется уравнением ?
- •Дайте определение окружности и выведите ее каноническое уравнение.
- •Напишите уравнение окружности с центром в точке радиуса . При каком значении параметра , уравнение определяет окружность?
- •Как по каноническому уравнению эллипса определить, является ли он окружностью? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение гиперболы. Каков геометрический смысл параметров, входящих в каноническое уравнение гиперболы? Среди линий , , выберите гиперболы и постройте их.
- •Напишите каноническое уравнение гиперболы. Приведите пример уравнения гиперболы, не пересекающей ось абсцисс. Нарисуйте ее.
- •Являются ли параболами линии, заданные уравнениями: , ? Ответ обоснуйте.
- •Дайте определение кривой второго порядка. Какие кривые второго порядка задают уравнения , ? Изобразите их.
- •Какая из кривых второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •10. Выпуклые множества в точечном пространстве
- •Как задать луч, отрезок в точечном пространстве ? Приведите примеры.
- •Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
- •Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
- •Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
- •Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.
- •11. Задачи линейного программирования
- •Приведите пример задачи линейного программирования, имеющей единственное решение. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является отрезок. Ответ обоснуйте.
- •Приведите пример задачи линейного программирования, множеством оптимальных решений которой является луч. Ответ обоснуйте.
- •Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования, уменьшив число переменных:
- •Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
- •Приведите пример задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.
5. Комплексные числа
-
Дайте определение и приведите пример комплексно-сопряженных чисел. Докажите, что для комплексных чисел , справедливы равенства: а) , б) .
Комплексное число Z обозначается символом a+ib, где а и в – действительные числа, называемые соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемы условием i*i=-1, называется мнимой единицей. Комплексное число а-ib называется сопряжённым с числом z=a+ib и обозначается z’
-
Изобразите на плоскости комплексные числа , , и .
Z=a+bi, по оси х откладываете а, по оси у откладываете в.
-
Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа и укажите способ их нахождения.
-
Запишите в тригонометрической форме числа , .
-
Найдите модуль комплексного числа
-
Найдите аргумент числа .
-
Используя формулу Муавра, вычислите .
-
Докажите, что корень пятой степени из единицы имеет пять комплексных значений. Как эти значения располагаются на плоскости?
-
Сформулируйте основную теорему алгебры комплексных чисел.
Многочлен n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).
Или: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.
-
Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь более двух корней? Ответ обоснуйте.
а)б) - не верно.
Опираясь на основную теорему алгебры комплексных числел, любое квадратное уравнение(уравнение второй степени) в области комплексных чисел имеет ровно 2 комплексных корня (в некоторых случаях комплексные корни могут быть действительными, если они лежат на действительной оси).
-
Решите уравнение в области комплексных чисел: а) ; б) ; в)
-
Многочлен степени 4 с действительными коэффициентами имеет корень . Докажите, что корнем этого многочлена является число .
6. Линейные операторы в пространстве
-
Дайте определение линейного оператора. Проверьте линейность оператора, переводящего вектор в вектор .
-
Дайте определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Приведите пример.
Рассмотрим базис (e1, ..., en) в пространстве Rn.
Линейный оператор A : Rn → Rn : Ax = y. Разложим по базису x = x1e1+...+xnen, где
(x1, ..., xn) - координаты вектора x в указанном базисе. Тогда в силу линейности оператора
A получим: Ax = x1Ae1 + ... + xnAen
Разложим элементы Aei, i = 1..n по указанному базису:Ae1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en,
...
Aen = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen,
Матрицей линейного оператора A в указанном базисе (e1, ..., en) называется матрица, составленная из коэффициентов разложения
A =a11 ... a1n
... ... ...
an1 ... ann
Пример: Линйный оператор отражения от плоскости Oxy: A(x, y, z) = (x, y,−z) имеет
Матрицу A =1 0 0
0 1 0
0 0 −1
-
Как изменяется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому? Ответ проиллюстрируйте на примере.
Теорема (о переходе к другому базису) Пусть Ae - матрица линейного оператора A в базисе E = (e1, ..., en). Пусть Af - матрица линейного оператора A в базисе F = (f1, ..., fn).
Тогда матрицы связаны соотношением:
Af = P−1e→fAePe→f
где Pe→f - матрица перехода от базиса E к базису F: F = EPe→f .
-
Найдите матрицу преобразования пространства в стандартном базисе: а) - поворот на угол ; б) - симметричное отражение векторов относительно прямой .
a) A =cos α −sin α
sin α cos α
b) A =0 1
1 0
-
Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите пример.
Число λ называется собственным значением (собственным числом) линейного оператора A , если ∃x не= 0 : Ax = λx
x не= 0 называется собственным вектором линейного оператора A, отвечающим собственному числу λ.
Пример: f(x, y) = (2x, 2y) имеет собственное значение λ = 2, так как для любого вектора v(a, b) : f(v) = 2v.
-
Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.
Пусть λ - собственный вектор f так, что f(x) = λx. Тогда f2x = f(f(x)) = f(λx) = λf(x) = λ2x
Это означает, что если λ - собственное значение f, то λ2 - собственное значение f2.
-
Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.
Пусть λ - собственный вектор f так, что f(x) = λx. Тогда x = f−1(f(x)) = f−1(λx) = λf−1(x)
Получили: x = λf−1(x) ⇒1/λ*x = f−1(x)
Это означает, что если λ - собственное значение f, то 1/λ - собственное значение f−1.
-
Могут ли все собственные значения ненулевой матрицы быть равными 0? Ответ обоснуйте для квадратных матриц порядка .
Рассмотрим матрицу A =a b c d
. Запишем характкристический многочлен и приравняем его к 0, чтобы найти собственные значения матрицы:
(a − λ)(d − λ) − bc = 0
Предположим, что λ = 0 - корень характеристического уравнения, то есть λ = 0 -
собственное значение матрицы A. Тогдa, подставив λ = 0 в уравнение получим условие:
ad = bc.
Как только ad = bc, то λ = 0 - корень уравнения. Если же ad = bc, то λ = 0 не будет являться корнем уравнения. Поэтому подставим это уравнение в хар. уравение и упростим
его: (a − λ)(d − λ) − bc = 0
ad − bc − (a + d)λ + λ2 = 0
λ2 − (a + d)λ = 0
(λ − (a + d))λ = 0
Мы видим, что, как только λ = 0 - собственное значение ad = bc тогда λ = a+d – тоже собственное значение. Предположим, что a = −d. Тогда оба собственных значения будут равны 0.
Получены условия нулевых собственных значений матрицы 2 × 2:1. ad = bc, 2. a = −d