18. Задача построения линейного группового кода с заданными свойствами.

Алгоритм:

1)если N заданная мощность кода, то информационная часть матрицы имеет размер k=]log₂N[. 2) любой проверочный столбец является суммой по mod 2 некоторого количесва столбцов информационной части матрицы, при этом каждый столбец информационной части должен хотя бы раз принять участие повереностью столбца.

3) вес каждой строки должен быть ω_i≥d_min .

4) расстояние по Хеммингу ρ(V_i,V_j)≥d_min.

Пример: построить порождающую матрицу. N=16, b=2.

K=lod₂16=4, d_min ≥b+1=3.

Полученная матрица не удовлетворяет условию задания, потому вес V₂, V₄=2.

ρ(V₁,V₂)=2, ρ(V₃,V₄)=2.

Вывод: данная матрица не удовлетворяет условию.

128→16 слов.

Заключение: в соответствии с заданием получена матрица порождающего кода. Если при выбранном количестве столбцов проверочной части требования не удаётся выполнить, то число столбцов увеличивают.

Рассмотрим:

256→16 слов.

G₁=>(7,4), G₂=>(8,4). Сравнивая G₁ и G₂, можно сделать вывод: G₁ порождает код, имеющий скорость R=k/n=4/7, тогда как G₂ R=1/2. Код, порождаемый G₁ более выгодный.

19. Кодирование в линейных групповых кодах: систематическое и несистематическое.

i=1001

1)способ код-ия сост. в том, что по местоположению единиц в инф. слове опред. какие строки порождающ. матр-цф надо сложить, чтобы получить кодовое слово. В нашем сл. необх. сложить 1 и 4. Кодовое слово С: С=1001 001 2)если известна порожд.матр-ца, то постр кодовое слово можно путем перемножения инф. слова, представленного в виде м-цы строки, и порожд мат-цы С=i*G i=101, С=10101. Данный способ, также как и первый порождает систематический код.

Систематическим кодом наз-ся код, в котором кодовые слова построены след. образом: первые к позиций занимает инф. слово, а n-k позиции- проверочные разряды. Несистематический код:в нем проверочные и инф. разряды перемешаны по опред. правилам.

20. Декодирование в линейных групповых кодах. Синдромы.

Декод ЛГК явл-ся процессом обратным код-ию. Суть его состоит в том, что проверочные разряды порожд. мат-цы связаны с информ. разрядами опред. соотнош. Эти соотнош. предст. собой проверочные суммы, свяывающие информацион. и проверочные разряды.Эти правила закладываются при конструировании порожд. мат-цы и при декодировании проверяются. если порожд. м-ца строилась из условия обнаружения b ошибок или из у. корр. t ошибок, то проверка функц. связей при декодировании при условии что произошло не более t ошибок, позволяет обнаружить b и скоррект t ошибок.

. Подматрица D имеет размер 4х3, т.е. Kx(n-K), а I размер (n-k)x(n-k). Каждая i-я строка подматрицы P становится i-м столбцом в подматрице. cH^T=0.

Коррекция ошибок основана на избыточности. Избыточными являются разряды проверочной части матрицы G. Прежде чем определить минимальное необходимое количество разрядов, установим связи, которые необходимо накладывать на проверочные – информационные разряды, чтобы обеспечить заданную корректирующую способность кода.

Таблица синдромов. 1) если есть одиночная ошибка, то S≠0. Как следует из таблицы все векторы S при наличии одиночной ошибки не равны 0 и различны, т.е. каждая комбинация S однозначно указывает номер ошибочного разряда. Допустим, что в слове 2 ошибки. Построим таблицу синдромов. Как следует из таблицы все синдромы не равны 0. Однако, для некоторых комбинаций отказов синдромы повторяются, поэтому нельзя однозначно сказать какие именно пары разрядов ошибочны. Т.о. рассматриваемый код может обнаруживать 2 ошибки, но исправляет только одну.

21. Фактические возможности линейных групповых кодов по обнаружению ошибок.

. Подматрица D имеет размер 4х3, т.е. Kx(n-K), а I размер (n-k)x(n-k). Каждая i-я строка подматрицы P становится i-м столбцом в подматрице. cH^T=0.

Коррекция ошибок основана на избыточности. Избыточными являются разряды проверочной части матрицы G. Прежде чем определить минимальное необходимое количество разрядов, установим связи, которые необходимо накладывать на проверочные – информационные разряды, чтобы обеспечить заданную корректирующую способность кода.

Таблица синдромов. 1) если есть одиночная ошибка, то S≠0. Как следует из таблицы все векторы S при наличии одиночной ошибки не равны 0 и различны, т.е. каждая комбинация S однозначно указывает номер ошибочного разряда. Допустим, что в слове 2 ошибки. Построим таблицу синдромов. Как следует из таблицы все синдромы не равны 0. Однако, для некоторых комбинаций отказов синдромы повторяются, поэтому нельзя однозначно сказать какие именно пары разрядов ошибочны. Т.о. рассматриваемый код может обнаруживать 2 ошибки, но исправляет только одну.

На самом деле обнаруживаются не только парные ошибки. Но трехкратные не обнаруживаются только 4 из 20 возможных, 4-х кратные 4 из 15. Обнаруживается любая 5 и 6 кратная ошибка. Т.о. из всех возможных 63 комбинаций ошибок не обнаруживаются только 8. Для данного кода количество проверочных столбцов =3 и следовательно составляются 3 проверочных уравнения для построения 3-х компонентного вектора синдромов S. В общем случае количество уравнений должно быть равно или больше количества исправляемых ошибок, если имеется r проверочных разрядов, то 2^r-1 – это количество возможных различных проверочных комбинаций на r разрядах. Их число должно быть больше или равно количеству исправляемых ошибок. Если хотим исправить одиночные ошибки, то 2r-1≥ C_n¹ , если 2 ошибки, то