- •Моделирование систем и сетей массового обслуживания
- •Потоки событий
- •Простейший поток событий
- •Общая характеристика систем массового обслуживания
- •Элементарный акт обслуживания заявки
- •Структуры смо
- •Описание функционирования смо
- •Дисциплины ожидания и обслуживания
- •Обозначения и классификация смо
- •Показатели эффективности и основные характеристики смо
- •Основные характеристики простейших смо
- •Общие принципы моделирования систем массового обслуживания
- •Метод статистических испытаний
- •Генерация входных потоков
- •Модель функционирования элементарных смо
- •Модель смо с ожиданием
- •Модель смо без ожидания
-
Модель смо с ожиданием
Рассмотрим одну из простейших систем обслуживания М/М/1, её модель представлена на рис. 3.8. Из обозначения системы следует: процесс поступления заявок ‑ пуассоновский, объем буферной памяти не ограничен, распределение времени обслуживания ‑ экспоненциальное. Заявки обслуживаются по принципу FIFO.
Рис. 3.8. Модель системы обслуживания М/М/1
Предположение о бесконечности числа мест для ожидания в системе представляется вполне обоснованным, так как проблемы с недостатком памяти возникают все реже и в ближайшем будущем, по-видимому, перестанут вызывать практические затруднения.
Основные характеристики системы обслуживания М/М/1
-
Коэффициент загрузки устройства – ρ
ρ= λ m1{tобсл}= λ /μ <1,
где λ – интенсивность потока заявок,
m1{tобсл} – среднее значение времени обслуживания, m1{tобсл}=1/μ,
μ – интенсивность обслуживания.
Пусть СМО работает достаточно длительное время T, тогда число заявок в системе равно λT, среднее время обслуживания заявок – λ T m1{tобсл}, а вероятность обслуживания заявки:
.
Таким образом, коэффициент загрузки является вероятностью обслуживания заявки в канале.
Коэффициент загрузки имеет смысл только для установившихся режимов.
-
Коэффициент простоя канала (вероятность того, что в устройстве нет заявки)– η
η=1-ρ.
-
Время ожидания заявки в системе –tож;
-
Время пребывания заявки в системе ‑ tc
tc=tож +m1{tобсл},
-
Средняя длина очереди ‑ l
l=λ m1{tож}
-
Среднее число заявок в системе – m1{n}
m1{n}=λ (tож +m1{tобсл}).
-
Модель смо без ожидания
Рассмотрим простую СМО, которая состоит из трёх одинаковых каналов; входной поток ‑ простейший с параметром ; время обслуживания в канале одной заявки постоянно и равно tобсл. Данная СМО является системой без ожидания, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, покидает систему. Дисциплина обслуживания такова: если в момент поступления k-ой заявки первый канал свободен, то он приступает к обслуживанию заявки; если этот канал занят, то заявку обслуживает второй канал и т.д. Надо определить, сколько заявок в среднем обслужит система за время Т и сколько в среднем она даст отказов.
За начальный момент расчета выбирают момент поступления первой заявки t1 = 0. Введем следующие обозначения: tк - момент поступления k-ой заявки; tk ‑ промежуток времени между поступлением в систему k-ой и (k + 1)-ой заявки; ti — момент окончания обслуживания требования i-ым каналом.
Предположим, что в момент t1 все каналы свободны. Первая заявка поступает в первый канал, в течение времени обслуживания этот канал занят. Поэтому полагают T1=t1+, добавляют единицу к счетчику обслуженных заявок и переходят к рассмотрению второй заявки.
Предположим, что k заявок уже рассмотрено. Определим момент поступления (k+1)-ой заявки. Для этого найдем очередное значение xk равномерно распределенной случайной величины, вычислим очередное значение экспоненциально распределенной случайной величины tk, а затем момент поступления (k+1)-ой заявки tk+1= tk+tk.
Чтобы узнать, свободен ли в этот момент первый канал, необходимо проверить условие . Если это условие выполнено, то к моменту tk+1 первый канал освободился и может обслуживать заявку. В этом случае T1 присваивается значение tk+1+, добавляется единица к счетчику обслуженных заявок и происходит переход к следующей заявке.
Если , то первый канал в момент tk+1 занят. В этом случае проверяем, свободен ли второй канал. Если условие выполнено, присваиваем t2 значение tk+1+, добавляем единицу к счетчику обслуженных заявок и переходим к следующей заявке.
Если , то проверяем условие . Если все каналы оказались заняты, то в этом случае прибавляем единицу в счетчик отказов и переходим к рассмотрению следующей заявки. Результаты моделирования можно оформить в виде таблицы регистрации результатов имитации одной реализации (табл. 3.1).
Таблица 3.1
№ заявки (k) |
Случайное число xk |
tk |
Момент поступления заявки tk |
Момент окончания обслуживания заявки i-ым каналом |
Счетчик обслуженных заявок |
Счетчик отказов |
||||
i=1 |
i=2 |
i=3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждый раз, вычислив tk+1, надо проверить еще условие окончания реализации tk+1>T. Если это условие выполнено, то одна реализация случайного процесса функционирования системы воспроизведена и опыт заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа nо6сл и потк.
Получив п реализаций случайного процесса, т.е., повторив такой опыт п раз, определяют оценки математических ожиданий числа обслуженных требований m1{по6с} и числа требований, получивших отказ m1{потк}.