2.4. Уравнение вход-выход

Обозначим числитель и знаменатель передаточной функции согласно формуле:

Тогда уравнение вход-выход запишется в следующем виде, если вместо переменной р подставить оператор дифференцирования по времени:

2.5. Частотные характеристики

Для того чтобы найти частотные характеристики системы можно воспользоваться любой из ниже указанных формул, в зависимости от того, что уже известно передаточная функция, весовая функция, уравнение вход-выход или система уже описана в переменных состояния:

Лучше всего пойти самым простым способом и путем заменой переменной в передаточной функции найти искомую функцию, которую требуется представить в следующем виде:

Для простоты нахождения модуля и аргумента искомой функции будем рассматривать отдельно модули и аргументы числителя и знаменателя:

Для символьного решения посредством MatLab ограничимся вычислением частотных характеристик через переменные состояния, чтобы операции не сводились к простому переименованию переменных. Проведем проверку между аналитическим и символьным расчетом в MatLab, при фиксированных значениях параметров (М-файл №3 в приложении):

H =- (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i)) + ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i))

modh = 0.0107

modh1 =0.0107

argh =-1.7168

argh1 =-1.7168

Ответы совпали, значит, аналитические вычисления верны.

3. Свойства системы

3.1. Устойчивость

Найдем собственные числа матрицы А (очевидно это корни знаменателя передаточной функции)

Отсюда видим, что имеется 3 собственных числа, из которых одно нулевое, а 2 других зависят от перекрестных связей

Для того, чтобы удовлетворить условию Стодолы, которое является в нашем случае не только необходимым условием, но и достаточным, потребуем следующее:

Корневой годограф смотри в приложении.

3.2. Анализ минимально фазовости объекта

Запишем уже известные нам передаточные функции:

Для того, чтобы система была минимальнофазовой, не должно быть плохих корней в числителях и знаменателях. О знаменателе мы позаботились, когда ставили условия на устойчивость, поэтому потребуем условия только на числители:

очевидно, неравенство (3) выполняется, если выполнены первые два, тогда остаются

3.3. Исследование управляемости и наблюдаемости

Для того, чтобы аналитически определить, при каких соотношениях коэффициентов, система является наблюдаемой и управляемой будем рассматривать, в каких случаях корни числителя и знаменателя совпадают.

Корни знаменателя мы знаем из исследования устойчивости:

корни числителей:

Для того, чтобы система была управляемой и наблюдаемой, потребуем, чтобы корни числителя и знаменателя не совпадали:

При этом стоит ввести вместо строгого отсутствия равенства определенное неравенство, чтобы избежать слабоуправляемых и плохо наблюдаемых систем:

Соответственно запишем, получившиеся ограничения на наши коэффициенты:

Порядок можно прикинуть, сравнив с другими условиями, накладываемые на переменные коэффициенты.

Теперь будем исследовать управляемость и наблюдаемость посредством MatLab. Составим матрицу управления и матрицу наблюдаемости по формулам через переменные состояния:

Полученные решения:

P =

[ k, - 100*k - a1*(k - 1), k*(a1*a2 + 10000) + 110*a1*(k - 1)]

[ 1 - k, 10*k + a2*k - 10, - 110*a2*k - (a1*a2 + 100)*(k - 1)]

[ 0, k*k1 - k2*(k - 1), (10*k2 - a1*k1)*(k - 1) - k*(100*k1 - a2*k2)]

Q =

[ 0, conj(k1), conj(a2)*conj(k2) - 100*conj(k1)]

[ 0, conj(k2), conj(a1)*conj(k1) - 10*conj(k2)]

[ 1, 0, 0]

Для того чтобы эти матрицы были полного ранга, необходимо и достаточно, чтобы определители каждой из них не были нулевыми, соответственно здесь тоже можно говорить о слабоуправляемых и плохо наблюдаемых системах и поэтому вместо отсутствия равенства ставим определенное неравенство:

Находим в MatLab символьные выражения для определителей матриц управления и наблюдаемости (М-файл №4 в приложении):

dP =

9000*k-100*a1+380*a1*k+190*k^2*a2-17100*k^2-460*a1*k^2-180*k^3*a2+180*a1*k^3-k*a1*a2+3*a1^2*k-3*a1^2*k^2+a1^2*k^3+k^3*a2^2-a1^2+8100*k^3+3*k^2*a1*a2-2*k^3*a2*a1

dQ =

conj(a1)*conj(k1)^2 + 90*conj(k1)*conj(k2) - conj(a2)*conj(k2)^2

Так как значения можно записать условия для матрицы наблюдаемости в виде:

Как мы видим, полученные результаты сложно сравнивать, поэтому я оставлю их в таком виде. А в конечном итоге при выборе коэффициентов буду пользоваться условиями, полученными по аналитическому способу, и затем я покажу, что для этих фиксированных значениях коэффициентов выполняются условия, полученные с помощью MatLab.

При найденных значениях (см. раздел 3.5) параметров:

dP =

518.4000

dQ =

99.1500

Что значительно больше любого , которое на один-два порядка меньше левой части.