19. Дисперсия случайной величины. Свойства
Диспе́рсия
случа́йной величины́ —
мера разброса данной случайной
величины,
то есть её отклонения от математического
ожидания.
Обозначается D[X] в
русской литературе и 
(англ. variance)
в зарубежной. В статистике часто
употребляется обозначение 
или 
.
Квадратный корень из дисперсии, равный 
,
называется среднеквадрати́чным
отклоне́нием, станда́ртным
отклоне́нием или
стандартным разбросом. Стандартное
отклонение измеряется в тех же единицах,
что и сама случайная величина, а дисперсия
измеряется в квадратах этой единицы
измерения.
-
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
-
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
-
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
-
Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
,
где 
—
их ковариация;
-
Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
,
где 
;
20. Другие характеристики рассеивания случайных величин
21.Биномиальное распределение. Основные характеристики
2.1. Математическое ожидание и дисперсия.
По определению, математическое
ожидание случайной величины вычисляется
по формуле:
гдеx i - значения
случайной величины x ,p i - вероятности
событий 
.
Для закона распределения
случайной величины (1)
мы получим:
Поскольку
,
то
Окончательно:
Для
дисперсии, по определению, имеем:
.С
учетом (1) получим:
22.Пуассоновское распределение. Основные характеристики
Случайная величина 
называется
распределённой по закону Пуассона с
параметром 
,
если
Производящая функции распределения Пуассона задаётся формулой
Характерной особенностью распределения Пуассона являются совпадения математического ожидания и дисперсии, причём
Распределение Пуассона
можно получить из биномиального
распределения путёмпредельного перехода
при 
при
условии 
и
в этом случае интерпретируется как
закон “редких” явлений. Если 
достаточно
велико, a 
мало,
то формулу Пуассона (7.3) часто используют
в качестве приближения вместо точных
биномиальных формул для вероятностей 
успехов
в 
испытаниях
(подробнее см.
часть 3)
23. Равномерное распределение. Основные характеристики
Равномерное распределение задаётся следующим законом:
Этот
закон имеет место в случае, когда 
возможных
исходов испытания равновероятны.
Примером целочисленной случайной
величины, распределённой по равномерному
закону, может служить число очков,
выпадающих при бросании симметричной
кости (любое из значений 
выпадает
с одинаковой вероятностью 
).
Характеристическая функция равномерного
закона задаётся формулой
Числовые характеристики геометрического закона распределения (математическое ожидание и дисперсия):
24. Показательно распределение. Основные Характеристики
Показательным (экспоненциальным)называют распределение вероятностей непрерывной СВ Т, которое описывается плотностью [5]:
(5.20)
где λ — постоянная положительная величина.
В определенных случаях принимают λ=λ(t)=const, это можно делать когда:
— есть оборудование, у которого контроль перед вводом в эксплуатацию отсеивает почти все дефектные элементы;
— есть элементы, которые практически не стареют;
— у большинства элементов имеется длительный период, на котором интенсивность отказов практически постоянна.
Из выражения (5.20) видно, что показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.