Лекция №3.Системы счисления

Вопросы:

1. Позиционные системы счисления.

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

3. Смешанные системы счисления.

Позиционные системы счисления

1) Система исчисления - совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов.

2)Алфавит – совокупность символов с помощью которых представить любое количество.

3)Изображение любого количества называется числом, а символы алфавита – цифрами (от лат.cifra). Символы алфавита должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.-

В современном мире наиболее распространенной является десятичная система счисления, происхождение которой связано с пальцевым счетом. Она возникла в Индии и в XIII веке была перенесена в Европу арабами. Поэтому десятичную систему счисления стали называть арабской, а используемые для записи чисел цифры, которыми мы теперь пользуемся, — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — арабскими.

С давних времен для подсчетов и вычислений применялись различные системы счисления. Например, на Древнем Востоке довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году — двенадцать. Эта система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймов) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсов). В Древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1ч — 60 мин, 1 мин = 60 с, аналогично в системе измерения углов: 1° = 60 мин, 1 мин = 60с).

Первые цифры (знаки для обозначения чисел) появились в Египте и Вавилоне. У ряда народов (древние греки, сирийцы, финикияне) цифрами служили буквы алфавита. Аналогичная система до XVI века применялась и в России. В Средние века в Европе пользовались системой римских цифр, которые и сейчас часто применяют для обозначения глав, частей, разделов в различного рода документах, книгах, для обозначения месяцев и т. д.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления — система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.

Запись числа A в непозиционной системе счисления D может быть представлена выражением:

где АD — запись числа А в системе счисления D; Di - символы системы.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: 111111111111, где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Римские	I	V	X	L	C	D	М
цифры
Значение	1	5	10	50	100	500	1000
(обозначаемое
количество)

Правила записи чисел в Римской системе счисления:

1) если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5 — 1=4, XL: 10 < 50, следовательно, 50 — 10 =40);

2)Если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VI: 5+1=6, VIII: 5+1 + 1 + 1 = 8, XX: 10+10 = 20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид MCMLXIV (М — 1000, СМ — 900, LX — 60, IV — 4), здесь «девятьсот» получается посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» — посредством сложения «пятидесяти» и «десяти», «четыре» — посредством вычитания из «пяти» «единицы».

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют позиционной.

Упорядоченный набор символов (цифр) {а₀, а₁...а_n}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита

p = n + 1 — ее основанием, а саму систему счисления называют р-ичной.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления

Самой привычной для нас является десятичная система счисления. Ее алфавит— {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр) . Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т. д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется пять раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 10²); вторая — количество десятков (ее вес равен 10), третья — количество единиц (ее вес равен 10°), четвертая — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1) и пятая цифра — количество сотых долей единицы (ее вес равен 10^-2). То есть число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

222.22 = 2*10²+2*10¹+2*10°+2*10^-1+2*10^-2

Аналогично:

725 =7* 10²+2* 10¹+5* 10°

1304.5 = 1*10³ + 3*10² + 0*10¹+4*10° + 5*10^-1

50328.15 = 5*10⁴+0*10³ + 3*10² + 2*10¹ + 8*10°+1*10^-1 + 5*10^-2

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем разложения его по степеням числа 10:

A₁₀=a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1+... + a₁ *10¹ + а₀ *10° + a_-1 *10^-1 + …+ a_-m * 10^m (3.1)

последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную запись числа А₁₀:

A₁₀=a_na_n-1…a₁a₀a_-1…a_-m (3.2)

Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

В общем случае для задания р-ичной системы счисления необходимо определить основание р и алфавит, состоящий из р различных символов (цифр) а_i, i=1,…,p

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т. д. Обычно в качестве алфавита берутся последовательные

целые числа от 0 до (р - 1) включительно. Для записи произвольного числа в двоичной системе счисления используются цифры 0, 1, троичной — 0, 1,2, пятеричной — 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием р> 10, используют буквенное обозначение цифр a,b,c,d,e,f.

Таким образом, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием р означает сокращенную запись выражения:

А_р = a_n*pⁿ+a_n-1* p^n-1+...+a₁*p¹+a_o*p^o+a_-1*p^-1+...+a_-m*p^-m= (3.3)

где a_k— цифры системы счисления; m и n— число целых и дробных разрядов, соответственно, А — запись числа А в р-ичной системе счисления.

Изображением числа А в р-ичной системе счисления является последовательность цифр а _k.

Например, десятичное число 35 в системах счисления с основанием Р будет иметь вид:

P	Разряды 10
10	10 3510=3*101+5*100
8	10 438=4*81+3*80
4	210 2034=2*42+0*41+3*40
3	3210 10223=1*33+0*32+2*31+2*30
2	543210 1000112=1*25+0*24+0*23+0*22+1*21+1*20

Из приведенных примеров видно, что с уменьшением основания системы счисления уменьшается число используемых цифр, но возрастает количество разрядов. Так, в десятичной и восьмеричной системах для записи числа 35 требовалось два разряда, в четвертичной – три разряда, а в двоичной – шесть разрядов.

Системы счисления используются для построения на их основе различных кодов в системах передачи, хранения и преобразования информации.

Код (от лат. codex) — система условных знаков (символов) для представления различной информации.

Любому дискретному сообщению или знаку сообщения можно приписать какой-либо порядковый номер. Измерение аналоговой величины, выражающееся в сравнении ее с образцовыми мерами, также приводит к числовому представлению информации. Передача или хранение сообщений при этом сводится к передаче или хранению чисел. Числа можно выразить в

какой-либо системе счисления. Таким образом будет получен один из кодов, основанный на данной системе счисления.

Каждому разряду числа можно поставить в соответствие какой-либо параметр электрического сигнала, например амплитуду.

Анализ систем счисления и построенных на их основе кодов с позиций применения в системах передачи, хранения и преобразования информации показывает, что чем больше основание системы счисления, тем меньшее число разрядов требуется для представления данного числа, а следовательно, и меньшее время для его передачи.

Однако с ростом основания существенно повышаются требования к аппаратуре формирования и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.

Теперь если за единицу измерения оборудования принять условный элемент с одним устойчивым состоянием, то для сравнения двух систем счисления можно ввести относительный показатель экономичности:

(3.4)

позволяющий сравнить любую систему счисления с двоичной, где q–основание

Из приведенного ниже соотношения видно, что функция F имеет минимум.

q 2 3 4 6 8 10

F 1.000 0.946 1.000 1.148 1.333 1.505

На рис. 3.1 представлена зависимость величины F от основания системы счисления q, если функция F непрерывна. Нижняя точка графика соответствует минимуму функции F, определяемому из условия dF/dq = 0, что соответствует значению q = е = 2,72.

Следовательно, с точки зрения минимальных затрат условного оборудования наиболее экономичной является система счисления с основанием 3.

F

q

Зависимость относительного показателя экономичности от показателя системы счисления.

1) - показатель экономичности системы.

2) - максимальное число, которое можно изобразить в ситеме с основанием q.

3) - требуемая длина разрядной сетки.

Незначительно уступают ей двоичная и четверичная. Системы с основанием 10 и более существенно менее эффективны. Сравнивая эти системы с точки зрения удобства физической реализации соответствующих им логических элементов и простоты выполнения в них арифметических и логических действий,

предпочтение в настоящее время отдается двоичной системе счисления. Действительно, логические элементы. соответствующие этой системе, должны иметь всего два устойчивых состояние. Задача различения сигналов сводится в этом случае к задаче обнаружения (есть импульс или его нет), что значительно проще. Арифметические и логические действия также легче осуществляются в двоичной системе.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Рассмотрим задачу перевода числа из одной системы счисления в другую в общем случае. Пусть известна запись числа А в системе счисления с основанием р:

(3.5)

где а_j — цифры р-ичной системы (0 ≤ а_j ≤р-1)

Требуется найти запись этого же числа А в системе счисления с основанием d:

(3.6)

где b_j — искомые цифры d-ичной системы (0 ≤ b_j ≤ d-1). При этом можно ограничиться случаем положительных чисел, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нужного знака.

При переводе чисел из р-ичной системы счисления в d-ичную (A_p - A_d) нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть осуществлен перевод, т. е. в какой системе счисления (р-ичной или d-ичной) должны быть выполнены все необходимые для перевода действия.

Пусть перевод А_р - A_d должен осуществляться средствами d-ичной арифметики. В этом случае перевод произвольного числа А_р заданного в системе счисления с основанием р, в систему счисления с основанием d выполняется по правилу замещения, предусматрива­ющему вычисление полинома (3.4) в новой системе счисления. То есть для получения d-ичного изображения выражения (3.5) необходимо все цифры а_j и число р заменить d-ичными изображениями и выполнить арифметические операции в d-ичной системе счисления.

Правило замещения чаще всего используется для преобразования чисел из любой системы счисления в десятичную.

Пример

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1 1₂=1*2³+1*2¹+1*2^-1=11,5₁₀

При переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах, причем под точностью понимается значение единицы самого младшего (правого) разряда, используемого в записи числа в той или иной системе счисления.

Пусть теперь перевод A_p → A_d должен осуществляться средствами р-ичной

арифметики. В этом случае для перевода любого числа используют правило деления - для перевода целой части числа, и правило умножения — для перевода его дробной части.

Например, перевести десятичное число 9810 - в двоичную систему счисления d=2.

Решение:

98: 2=49

остаток 0 (49x2=98)

49:2=24

остаток 1 (2x24=48)

24:2=12

остаток 0 (2x12=24)

12:2=6

остаток 0 (2x6=12)

6:2=3

остаток 0 (3x2=6)

3:2=1

остаток 1 (2x1=2)

1:2=0

так делится число меньше чем основание

операции закончены

1100010

Остаток отображает код двоичного числа, в двоичной системе счисления начиная с младшего двоичного разряда: 1100010

Проверка осуществляется выполнением обратной операции:

1*2⁶+1*2⁵+0*2⁴ +0*2³+0*2² +1*2¹ +0*2° =64 + 32 + 2 = 98

Перевод дробной части

Так как, любое число меньше 1 можно представить полиномом следующего

вида:

то для определения его разрядов в d-й системе счисления необходимо число

A_p умножать на d, выделяя целую часть m-число раз пока не будет достигнута заданная точность.

Пример: перевести дробь 0,625₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную.

Решение:

0,	1	0	1	0
625 х2=	250 х2=	5 х2=	0 х2=	0

Таким образом, двоичное число имеет вид 0,1010₂ Выполним проверку перевода по следующему выражению:

1x2^-1+0x2^-2+1x2^-3+0x2^-4=0,5+0,125=0,625

Смешанные системы счисления

Особого внимания заслуживает случай перевода чисел из одной системы счисления в другую, когда основания данных систем счисления p и d связаны равенством .

Правило перевода из d-ичной в p-ичную в систему счисления.

В исходной, d-ичной, записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы длины K (добавляя в случае необходимости левее старшей или правее младшей значащих цифр соответствующее количество нолей), и каждая такая группа записывается одной цифрой p-ичной системы счисления. Для обратного перевода из p-ичной в d-ичную систему счисления — каждая цифра числа, заданного p-ичной системе счисления заменяется ее d-ичным изображением.

Например:

10-ичная	2-ичная	8-ичная	16-ичная
0	00000	0	0
1	00001	1	1
2	00010	2	2
3	00011	3	3
4	00100	4	4
5	00101	5	5
6	00110	6	6
7	00111	7	7
8	01000	10	8
9	01001	11	9
10	01010	12	A

1996₁₆= 0001 1001 1001 0110₂;

Позиционные системы счисления с основанием p и d назовём смешанными, если P=d ^k, где k – натуральное число.

Примеры изображения чисел в данных системах счисления:

Табл. 3.2

10-ичная	2-ичная	8-ичная	16-ичная
11	01011	13	B
12	01100	14	C
13	01101	15	D
14	01110	16	E
15	01111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14

Как было отмечено выше, в современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи используется в основном двоичная система, что обусловлено рядом преимуществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Это обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию «вручную», например при составлении программы на машинном языке, то используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 — соответственно третья и четвертая степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисления и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему осуществляется путем замены каждой цифры эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадкой (четверкой цифр соответственно)

Например:

537,1₈ = 101 011 111,001₂; 1A3,F₁₆ = 1 1010 0011, 1111,

5 3 7 1 1 А 3 F

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Например:

10101001,10111₂ = 10 101 001, 101 110₂ = 251,56₈

2 5 1 5 6

10101001,10111₂=1010 1001, 1011 1000₂ = A9,B8₁₆

A 9 B 8

Правила выполнения арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления в 2-, 8- и 16-ичной системах счисления будут такими же, как и в десятичной системе, только надо пользоваться особыми для каждой системы таблицами сложения и умножения.

Двоично-десятичная система счисления

Двоично-десятичная система счисления широко используется в цифровых устройствах, когда основная часть операций связана не с обработкой и хранением вводимой информации, а с ее вводом и выводом на какие-либо индикаторы с десятичным представлением полученных результатов (микрокалькуляторы, кассовые аппараты и т. п.).

В двоично-десятичной системе десятичные цифры от 0 до 9 представляют 4-разрядными двоичными комбинациями от 0000 до 1001, т. е. двоичными эквивалентами десяти первых шестнадцатеричных цифр (см. табл. 3.2).

Преобразования из двоично-десятичной системы в десятичную (и обратные преобразования) не вызывают затруднений и выполняются путем прямой замены четырех двоичных цифр одной десятичной цифрой (или обратной замены). Например: 0011 0111

3 7

Две двоично-десятичные цифры составляют 1 байт. Таким образом, с помощью 1 байта можно представлять значения от 0 до 99, а не от 0 до 255, как при использовании 8-разрядного двоичного числа. Используя 1 байт для представления каждых двух десятичных цифр, можно формировать двоично-десятичные числа с любым требуемым числом десятичных разрядов.

Так, если число

1001 0101 0011 1000

рассматривать как двоичное, то его десятичный эквивалент

(10010101 0011 1000)₂= (38200)₁₀

в несколько раз больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа

(1001 0101 0011 1000) _2-10= (9538)_10.