8. Основные этапы создания модели

Итак, предположим, что есть объект исследования и определена цель построения модели этого объекта. С чего начать построение модели?

Первое, что нужно сделать, это проанализировать объект с точки зрения цели моделирования. На этом этапе выделяются все известные субъекту моделирования свойства объекта. Это нужно для того, чтобы среди многих свойств и признаков объекта выделить существенные с точки зрения целей моделирования, которые затем должны быть отражены в модели.

Для одного и того же объекта при разных целях моделирования существенными бу­дут считаться разные свойства.

Предположим, вы решили сделать бумажный самолётик, чтобы можно было его запускать и наблюдать, как он летает. Наиболее важно для вас в этом случае то, чтобы самолётик летел подобно настоящему самолёту (пусть очень короткое время и на маленькой вы­соте). Для этого в модели вы должны отразить корпус с носовой и хвостовой частью и крылья. Именно эти элементы конструкции и их взаимное расположение будут существенными признаками, по которым бумажный самолётик подобен настоящему.

Для кассира по продаже авиабилетов моделью самолёта будет план салона, а существенными признаками – расположение рядов кресел, количество кресел в ряду, стоимость билета для каждого места, наличие свободных мест.

Для авиадиспетчера модель самолёта – это светящаяся точка на экране радара. Существенные признаки – скорость и высота полёта, направление и вид движе­ния (взлёт, посадка, разворот и т. п.), взаиморасположение с другими самолётами, нахо­дящимися в контролируемом районе.

Для технолога цеха, где происходит сборка самолёта, моделью самолёта будут конструкторские чертежи, технологическая карта сборки, перечень деталей. Суще­ственные признаки - наименование и количество деталей, порядок и способ их соеди­нения, требования к квалификации специалистов, необходимое оборудование для обес­печения технологического процесса и прочее.

Для конструктора самолёта, строящего компьютерную мо­дель, моде­лью самолёта будет изменение графического изображения и расчётных параметров на экране дисплея при изменении значения входных параметров-переменных. Существен­ные признаки – закономерности и характер зависимости поведения самолёта и его от­дельных элементов от воздействующих на самолёт внешних условий, а также формулы, позволяющие отразить эти зависимости на экране дисплея.

Из описания приведённых ситуаций ясно, что первое, что необходимо сделать при построении модели после определения цели моделирования, - это выделить существенные с точки зрения цели моделирования признаки моделируемого объекта.

От того, насколько правильно и полно выделены существенные признаки, зависит соответствие построенной модели заданной цели, то есть её адекватность цели модели­рования. А вот адекватность модели объекту моделирования будет зависеть от того, как эти выделенные существенные признаки мы сможем выразить, в какой форме мы их отобразим. Понятие адекватности – одно из ключевых понятий моделирования.

В случае сложных объектов удовлетворить всем требованиям в одной модели обычно невозможно. Приходится создавать целый спектр моделей одного и того же объекта, каждая из которых наиболее эф­фективно решает возложенные на нее задачи. Например, в конст­рукторской и технологической практике, как правило, применяет­ся широкий спектр моделей - от простых расчетных формул на первоначальной стадии до весьма сложных моделей - на завершающей стадии раз­работки конструкции или техпроцесса

9. Проверка адекватности модели

Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

1. убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постано­вок.

2. установить, что точность полученных результатов соответ­ствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором - о сравне­нии с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требо­ваний, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, пред­назначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10-15 %. В моделях, исполь­зуемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более.

Как правило, различают качественное и количественное совпа­дение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстре­мальных точек, возрастание или убывание параметра).

Неадекватность результатов моделирования возможна, по край­ней мере, по трем причинам:

1. значения задаваемых параметров модели не соответствуют до­пустимой области этих параметров, определяемой принятой систе­мой гипотез

2. принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно.

3. не верна исходная совокупность гипотез.

Все три случая требуют дополнительного исследования как мо­делируемого объекта, так и исследования самой модели.

При возникновении проблем, связанных с адекватностью мо­дели, ее корректировку требуется начинать с последовательного ана­лиза всех возможных причин, приведших к расхождению результа­тов моделирования и результатов эксперимента. Проверка адекватности – чрезвычайно важный этап моделирования. Попытка проигнорировать его и быстрее перейти к решению «настоящей задачи» приво­дит к огромным временным издержкам.

10.Конструкция IF E LSE в языке Ява, синтаксис, пример использования

следующим образом:

if (БулевскоеВыражение) { Инструкции1} else {Инструкции2}

Сначала осуществляется проверка значения булевского выражения. Если результат равен true, выполняется блок инструкций 1, в противном случае (и при наличии предложения else) – блок инструкций 2.

Предложение else может быть пропущено, при этом конструкция if … else принимает более краткий вид:

if (БулевскоеВыражение) {Инструкции}

В этом случае при ложном значении булевского выражения никаких операций не выполняется.

Возможна также и вложенность конструкций if … else:

if (БулевскоеВыражение1) {Инструкции1} else if (БулевскоеВыражение2) {Инструкции2} else {Инструкции3}

Некоторым аналогом конструкции if … else является операция «?» со следующим синтаксисом:

БулевскоеВыражение ? Значение1 : Значение2

Где Значение1, Значение2 – вычисляемые значения одного типа.

Результатом этой операции будет Значение1, если БулевскоеВыражение истинно, в противном случае – Значение2

11. Численные и аналитические методы. Сходства и отличия

12. Конструкция WHILE в языке Ява, синтаксис, пример использования.

Синтаксис циклической конструкции while выглядит так:

while (БулевскоеВыражение)

Инструкция

Сначала осуществляется проверка булевского выражения. Если результат равен true, выполняется Инструкция (в качестве инструкции может быть использован блок), после чего булевское выражение проверяется вновь, и процесс повторяется до тех пор, пока в результате проверки не будет получено значение false.

Если требуется исполнить тело цикла хотя бы 1 раз, используется конструкция do … while:

do

while (БулевскоеВыражение)

В этом случае проверка истинности логического выражения осуществляется после выполнения тела цикла. В теле циклов возможно использовать две особые инструкции:

break – применяется для завершения выполнения цикла

continue – передаёт управление в конец тела цикла (т.е. начинает следующую итерацию). В ситуациях с while и do это приводит к выполнению проверки условия цикла, а при использовании в теле for инструкция continue правоцирует передачу управления секции изменения значения переменных цикла.

11. Условный оператор в языке Ява, синтаксис, пример использования.

Условные операторы

if (<условие>) <оператор>

if (<условие>) { <последовательность операторов> ;}

if (<условие> ) <оператор1> else <оператор2>

if (<условие>) {<блок1>;} else {<блок2>;}

Условное выражение

<условие> ? <выражение1> : <выражение2>

Пример:

int Price = 25;

double s = t<= 1 ? Price : t * Price;

при t=3 s = 75

при t=0.5 s = 25

11. Когнитивные, концептуальные и формальные модели. Приведите примеры.

Когнитивные, концептуальные и формальные модели

При наблюдении за объектом-ори­гиналом в голове исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую принято называть когнитивной. Формируя такую модель, исследователь, как пра­вило, стремится ответить на конкретные вопросы, поэтому от бес­конечно сложного устройства объекта отсекается все не нужное с целью получения его более компактного и лаконичного описания.

Представление когнитивной модели на естественном языке на­зывается содержательной моделью. В естественнонаучных дисциплинах и в технике содержательную модель часто называют технической постановкой проблемы.

По функциональному признаку и целям содержательные мо­дели подразделяются на: описательные, объяснительные и прогно­стические.

• Описательной моделью можно назвать любое описание объекта.

• Объяснительная модель позволяет ответить на вопрос, почему что-либо происходит.

• Прогностическая модель должна описывать будущее поведение объекта.

Под концептуальной моделью пони­мают содержательную модель, основанную на определенной кон­цепции или точке зрения. Выделяют три вида концептуальных моделей: логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные.

• Логико-семантическая модель является описанием объекта в терминах соответствующих предметных областей знаний, включающим все известные утверждения и факты. Анализ таких моделей производится средствами логики с привлечением знаний в соответству­ющих предметных областях.

• При построении структурно-функциональной модели объект обычно рассматривается как целостная система, которую расчленя­ют на отдельные элементы или подсистемы. Части системы связы­ваются структурными отношениями, описывающими подчинен­ность, логическую и временную последовательность решения от­дельных задач. Для представления подобных моделей удобны различного рода схемы, карты и диаграммы.

• Причинно-следственная модель часто используется для объясне­ния и прогнозирования поведения объекта.

11. Классификация математических моделей в зависимости от сложности объекта моделирования.

В качестве объекта моделирования может выступать как неко­торое материальное тело или конструкция, так и тех­нологический или социальный процесс либо явление. Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объек­ты-системы. В первом случае при моделировании не рас­сматривается внутреннее строение объекта, не выделяются состав­ляющие его элементы или процессы. В качестве примера подоб­ного объекта можно привести материальную точку в классической механике.

Рис 3 Классификация объектов моделирования

Что такое система? Система – это совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от окружающей среды и взаимо­действующая с ней как целое.

Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними, называ­ются структурными.

Среди структурных динамических систем выделяют в отдель­ный подкласс имитационные системы, состоящие из конечного числа элементов, каждый из которых имеет конечное число состо­яний. Число связей между элементами также предполагается конеч­ным. Взаимодействие элементов внутри системы моделируется с помощью некоторого алгоритма, реализуемого с использованием ЭВМ.

Как правило, взаимодействие внешней среды со сложной сис­темой полностью проследить не удается, что приводит к неопреде­ленности внешних воздействий и, как следствие, неоднозначности в поведении самой системы. Наличие подобной неопределенности является характерной особенностью сложных систем.

11. Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели.

Рис. 4

Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от значений входных параметров, то математичес­кая модель называется линейной. Линейные модели более просты для анализа. Исторически первыми стали разрабатываться и исследоваться имен­но линейные математические модели. Область применения подобных моде­лей охватывает классическую механику, электродинамику, аналитическую химию и биологию. Методы их построения обладают большой общно­стью и эффективностью.

Линейное поведение свой­ственно относительно простым объектам. Системам, как правило, присуще нелинейное многовари­антное поведение.

В настоящее время все чаще возникает потребность не только в повышении точности моделирова­ния, но и в создании качественно новых моделей, учитывающих не­линейность поведения реальных объектов исследования. Анализ подобных моделей намного слож­нее, чем линейных, причем разра­ботка методики и общих подходов к исследованию в настоящее время далека от завершения.

В зависимости от вида оператора математические модели мож­но разделить на простые и сложные.

В случае, когда оператор модели является алгебраическим вы­ражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров от входных, модель будем называть простой.

Простые модели чаще всего являются результатом обобщения и анализа экспериментальных данных, полученных в результате на­блюдений за исследуемым объектом или явлением. На основании анализа таких данных выдвигается гипотеза о возможной функциональной связи входных и выходных параметров. После этого ги­потеза проверяется на имеющемся экспериментальном материале, уточняется степень ее адекватности, т.е. степень соответствия результатов моделирования, имеющимся знаниям об исследуемом объекте. Если резуль­таты проверки неудовлетворительны, то принятая гипотеза отверга­ется и заменяется новой. Процесс повторяется до получения желаемой степени соответствия результатов эксперимента и модели.

Модель, включающая системы дифференциальных и интеграль­ных соотношений, уже не может быть отнесена к простым, так как для своего исследования требует применения довольно сложных ма­тематических методов.

На практике часто возникают ситуации, когда удов­летворительное описание свойств и поведения объекта моделирования не удается выполнить с помощью математических соотношений. Однако в большинстве случаев удается построить некоторый имитатор поведения и свойств такого объекта с помощью алгоритма, который также можно считать оператором модели.

11. Классификация математических моделей в зависимости от входных и выходных параметров.

12. Классификация математических моделей в зависимости от параметров моделирования.

В общем случае параметры, описывающие состояние и поведе­ние объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств: совокупность входных воздействий на объект; совокупность воздействий внешней среды; совокупность внутренних (собственных) параметров объек­та; совокупность выходных характеристик.

По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Количе­ственные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики могут находить­ся, например методом экспертных оценок. Таким образом, в зависимости от вида используемых параметров, модели могут подразделяться на: качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта свойства, параметры воздействия и начальное состояние известны с некоторой степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

1) детерминированные - значения всех параметров модели оп­ределяются детерминированными величинами (т.е. каждому пара­метру соответствует конкретное целое, вещественное или комплек­сное число либо соответствующая функция). Данный способ соот­ветствует полной определенности параметров;

2) стохастические - значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плот­ностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;

3) случайные - значения всех или отдельных параметров моде­ли устанавливаются случайными величинами, заданными оценка­ми плотностей вероятности.

4) интервальные - значения всех или отдельных параметров мо­дели описываются интервальными величинами, заданными интер­валом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

5) нечеткие - значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему не­четкому множеству.

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для моделей, в параметры которых входят координаты пространства. Как правило, увеличение размернос­ти модели приводит к росту числа математических

соотношений.

При разработке модели, стараются понизить размерность. Однако необоснованное пониже­ние размерности модели может существенно исказить результаты моделирования. Например, если для исследования движения бро­шенного мяча в вертикальной плоскости использование двухмер­ной модели может быть оправдано, то для исследования движения бумеранга такую модель строить бесполезно.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и коор­динаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. Если сравнивать скорости изменения различных объектов, то можно отметить, что для галактик время за­метных изменений измеряется миллионами лет, а для элементар­ных частиц - миллионными долями секунды.

При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных времен перехода объекта в новое равновесное состояние. Если скорости изменения внешних воздействий на объект мо­делирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом слу­чае говорят о квазистатическом процессе.

Например, если скорость появления микротрещин в элементах конструкции моста, связанная с сезонными колебаниями температуры и переменностью нагрузок, невелика, то расчет его максималь­ной несущей способности можно проводить в рамках статической модели. Срок службы моста в этом случае можно определить с помощью квазистатической модели, использующей зависимость прочностных свойств материала моста от суммарного числа цик­лов нагружения.

Если скорости изменения внешних воздействий достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом слу­чае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.

Процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных пото­ков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключе­но из числа независимых переменных.

Если в качестве одной из существенных независимых перемен­ных модели необходимо использовать время, то модель называется нестационарной. Примером нестационарной мо­дели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей из некоторого сосуда. По мере понижения уровня жидкости в со­суде давление на входе в трубу будет уменьшаться, что приведет к изменению параметров течения жидкости в каждой точке трубы.

11. Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования.

12. Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации.

13. Особый класс моделей – компьютерные.

. В целом же «компьютерные модели» качественно не от­личаются от моделей идеальных. Однако поскольку компьютерные техноло­гии накладывают всё больший отпечаток на процесс моделирования, вполне можно вести речь о компьютерном моделировании как особом виде идеального модели­рования.

В настоящее время понятие «компьютерное моделирование» обычно связывают с системным анализом - направлением кибернетики, впервые заявившем о себе в на­чале 50-х годов при исследовании сложных систем в биологии, макроэкономике, при создании автоматизированных экономико-организационных систем управления.

Компьютерное моделирование при анализе сложных систем – это, прежде всего, имитационное моделирование, при котором логико-математическая модель поведе­ния исследуемого объекта переводится в алгоритм функционирования объекта, реали­зованный в виде программного комплекса для компьютера.

В настоящее время под компьютерной моделью понимают:

• условный образ объекта, описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных рисунков, таблиц, схем, диаграмм, графиков, анимационных фрагментов, гипертекстов и так далее. Компьютерные модели такого вида иногда называют структурно-­функциональными;

• отдельную программу или комплекс программ, позволяющий с помощью после­довательности вычислений и графического отображения их результатов воспроизво­дить (имитировать) процессы функционирования объекта при условии воздействия на объект различных, как правило случайных, факторов (задаваемых чаще всего пользо­вателем программы). Такие модели называют имитационными компьютерными моде­лями.

Суть имитационного компьютерного моделирования заключена в получении ко­личественных и качественных результатов функционирования моделируемой системы по имеющейся модели. Качественные выводы, получаемые по результатам анализа мо­дели, позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства сложной системы: её струк­туру, динамику развития, устойчивость, целостность и прочее. Количественные выво­ды в основном носят характер прогноза некоторых будущих или объяснение прошлых значений параметров, характеризующих систему.

Предметом компьютерного моделирования могут быть: экономическая деятель­ность фирмы или банка, промышленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический процесс, процесс инфляции и так далее.

Цели компьютерного моделирования могут быть разные, но чаще всего - получе­ние данных, которые могут быть использованы для подготовки и принятия решений экономического, социального, организационного или технического характера.

11. Обследование объекта моделирования. Приведите примеры.

Этап обследования объекта моделирования включает следующие работы:

• выявление основных факторов, механизмов, влия­ющих на поведение объекта моделирования, определение па­раметров, позволяющих описывать моделируемый объект;

• сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополни­тельных экспериментов;

• аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту);

• анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

На основе собранной информации по­становщик и заказчик формулируют содержательную или техническую постановку задачи моделирования, которая не быва­ет окончательной и может уточняться в про­цессе разработки модели.

Весь собранный материал об объекте, содержательная по­становка задачи, требования к ре­ализации модели и представлению результатов, оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели.

Ниже приведен пример содержательной по­становки задачи о баскетболисте.

Пример. Содержательная постановка задачи о баскетболисте: Необходимо разработать математическую модель, позволяющую описать по­лет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную кор­зину.

Модель должна позволять:

• вычислять положение мяча в любой момент времени;

• определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные:

• масса и радиус мяча;

• начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;

• координаты центра и радиус корзины.

11. Концептуальная постановка задачи моделирования. Приведите пример и проведите анализ задачи.

Концептуальная постановка задачи моделирования - это сфор­мулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, био­логии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Наибольшие трудности при формулировке концептуальной по­становки приходится преодолевать в моделях, находящихся на «стыке» различных дисциплин. Различия традиций, понятий и языков, используемых для описания одних и тех же объектов, являются очень серьезными препятствиями, возникающими при создании «междисциплинарных» моделей.

Пример. Концептуальная постановка задачи о баскетболисте. Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответ­ствии с законами классической механики Ньютона.

Примем следующие гипотезы:

• объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;

• мяч будем считать материальной точкой массой m, положение ко­торой совпадает с центром масс мяча;

• движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорени­ем свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

• движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр кор­зины;

• пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванны­ми собственным вращением мяча вокруг центра масс.

Следует отметить, что концептуальная постановка задачи моде­лирования в отличие от содержательной постановки использует тер­минологию конкретной дисциплины. При этом моделируемый реальный объект (мяч) заменяется его механической моделью (материальной точкой). Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к поста­новке классической задачи механики о движении материальной точ­ки в поле сил тяжести. Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке мож­но сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийс­кий снаряд.

24. Математическая постановка задачи моделирования. Контроль правильности полученной системы математичес­ких соотношений.

Концептуальная постановка позволяет сформули­ровать математическую постановку задачи моделирования, т.е. со­вокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Как было отмечено ранее, совокупность математических со­отношений определяет вид оператора модели. Наиболее простым будет оператор модели в случае, если он представлен системой ал­гебраических уравнений.

Совокупность математических соотношений указанных двух классов определяет оператор модели. В большинстве случаев опе­ратор модели включает в себя систему обыкновенных дифферен­циальных уравнений, дифференциальных уравнений в час­тных производных и интегро-дифференциальных урав­нений. Для обеспечения корректности постановки задачи к системе уравнений добавляются начальные или граничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

Для контроля правильности полученной системы математичес­ких соотношений требуется проведение ряда обязательных прове­рок:

• Контроль размерностей, включающий правило, согласно ко­торому приравниваться и складываться могут только вели­чины одинаковой размерности.

• Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнитель­ных порядков складываемых величин и исключением мало­значимых параметров.

• Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных па­раметров модели, вытекающие из математичес­ких соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.

• Контроль экстремальных ситуаций - проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результа­ты моделирования, если параметры модели или их комби­нации приближаются к предельно допустимым зна­чениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, матема­тические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.

• Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они ис­пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удов­летворяют данным условиям.

• Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.

• Контроль математической замкнутости, состоящий в про­верке того, что выписанная система математических соотно­шений дает возможность, притом однозначно, решить по­ставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число неза­висимых уравнений должно быть n. Если их меньше n, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превыша­ет n, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближен­но, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов

Понятие корректности задачи имеет большое значение в при­кладной математике. Например, численные методы решения оправ­дано применять лишь к корректно поставленным задачам. Дока­зательство корректности конкретной математической задачи - до­статочно сложная проблема.

Математическая модель является корректной, если для нее осу­ществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок размерности, порядков, характера зависимостей, экстре­мальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и ма­тематической замкнутости.

Пример. Математическая постановка задачи.

Требуется найти зависимости x(t), y(t) и Vx(t), Vy(t) из решения системы дифференциальных уравнений:

,

,

при следующих начальных условиях:

x(0) = x_{0 ,} y(0) = y₀ ,

Vx(0) = V₀ cos  , Vy(0) = V₀ sin 

Как можно видеть, с математической точки зрения задача о баскетболисте свелась к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка с заданными начальными условиями. Полученная система уравнений является замкнутой, т.к. число независимых уравнений (4) равно числу искомых параметров задачи (x, y, Vx, Vy). Выполним контроль размерности задачи:

уравнение динамики

связь скорости и перемещения

Существование и единственность решения задачи Коши доказана математиками. Поэтому данную математическую модель можно считать корректной.

24. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи.

При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Как было отмечено ранее, все методы решения задач, составляющих «ядро» математи­ческих моделей, можно подразделить на аналитические и алгорит­мические.

Аналитические методы более удобны для пос­ледующего анализа результатов, но применимы лишь для относи­тельно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгорит­мические методы сводятся к некоторому алгоритму, ре­ализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно за­висит от выбранного метода и его параметров (например, шага ин­тегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более тру­доемки в реализации, требуют обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислитель­ной техники.

Общим для всех численных методов является сведение мате­матической задачи к конечномерной. Это чаще всего достига­ется дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. На­пример, траектория центра тяжести баскетбольного мяча опреде­ляется не как непрерывная функция времени, а как дискретная функция координат от времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за прибли­женное решение исходной математической задачи.

Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основ­ных составляющих погрешности при численном ре­шении исходной задачи:

• неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффи­циенты и правые части уравнений);

• погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи;

• ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Численный, или приближенный, метод реализуется всегда в виде вычислительного алгоритма. Прежде всего, алгоритм должен быть реализуем - обеспечивать решение задачи за допустимое машинное время. Важной характе­ристикой алгоритма является его погрешность. Для очень малых значений погрешности время вычислений может быть недопустимо большим. Поэтому на практике добиваются некоторого компромисса между точностью и затрачиваемым машинным временем.

Если погрешность в процессе вычислений неограниченно возрастает, то такой алгоритм называ­ется неустойчивым, или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым, или сходящимся.

24. Дайте определение дискретно-событийной системы, приведите примеры

Системы называются дискретно-событийными, если изменения переменных состояния в них происходят только в явно определенные моменты времени или под влиянием явно определенных событий. Находясь в некотором состоянии, дискретная система сохраняет его до наступления очередного события, под воздействием которого переменные системы и, следовательно, её состояние изменяются скачком. Например, при построении модели банка состояние системы может быть представлено количеством клиентов в помещении банка и числом занятых кассиров. Состояние системы изменяется, если новый клиент входит в банк или освобождается кассир, а это условно можно считать мгновенными событиями.