Тема 4. Методы системного моделирования

экономических задач

Цель: дать студентам понимание общих принципов системно-

го экономико-математического моделирования на примере изуче-

ния свойств функции "результат - затраты".

Экономика представляет собой большую сложную систему.

Понятие большой системы предполагает наличие множества под-

систем, в качестве которых выступают различные производствен-

ные системы – предприятия и объединения. Рыночная экономику

характеризуется следующими условиями. Управление _______подсисте-

мами с использованием экономических, в частности, нормативных

методов управления

Применение экономико-математических методов и моделей

различных уровней должно обеспечить эффективность принятия

управленческих и технологических решений, характеризующихся

динамичностью. Поэтому задачей моделирования становится не

столько получение на модели единственного оптимального для

данной ситуации решения, сколько эксперимент с моделью, по-

зволяющий ответить на вопрос «А, что будет, если...», то есть

оценка возможности, а самое главное, эффективности маневра.

Принцип оптимальности при этом остается основополагающим.

Здесь с новой остротой встает двуединая проблема: 1) оценка

результатов деятельности производственной системы и 2) оценка

затрат различного рода ресурсов с точки зрения интересов данного

предприятия и экономической системы в целом.

Исследование будем вести на простейшей модели формиро-

вания программы производства продукции в плановом периоде,

обеспечивающей ее максимальный стоимостной выпуск:

Σ=

®

J

i

j j C X MAX

1

32

Σ=

£

J

i

j j i a x b i

1

, =1,2,...,I

³ 0, j x j =1,2,...,J

здесь: j = 1, 2, ..., J – номенклатура выпускаемой продукции;

xj – переменные модели – количество единиц продукции j-го

наименования;

i = 1, 2, ..., I – ресурсы, необходимые для производства всех

видов;

bi – общий объем ресурса i-го вида в плановом периоде;

aij – норма расхода i-го ресурса на единицу j-го вида продук-

ции;

cj – цена продукции j-го наименования.

Это обычная задача линейного программирования на макси-

мизацию результата при ограниченных объемах ресурсов, извест-

ная из курса оптимального программирования. Она может вклю-

чать ограничения по обязательному выпуску продукции:

, j j X ³ N

где j N — количество продукции j-го наименования, которое

необходимо выпустить по государственным заказам или по пря-

мым договорным обязательствам. Однако их можно легко исклю-

чить из модели, рассчитав потребности в ресурсах на обязатель-

ный выпуск и сократив общие объемы ресурсов bi. Модель тогда

можно трактовать как обеспечение довыпуска продукции из

имеющихся свободных ресурсов.

Пусть результаты деятельности условного предприятия оце-

ниваются по показателю общей стоимости выпуска (выручка).

Предприятие в плановом периоде может выпустить три вида про-

дукции со следующими характеристиками:

Таблица 4.1

Характеристики продукции

Продукция Оптовая цена

тыс.руб/ед.

Норма расхода ресурсов

Труд

т. чел.-ч./ед.

Сырье

т/ед.

Материалы

т/ед.

1

2

3

20

20

24

2

3

4

4

2

6

1

3

4

Известны общие объемы ресурсов в плановом периоде:

33

- располагаемый фонд рабочего времени T = 12 (т.чел.-ч);

- выделенные лимиты сырья S = 16 (т) и материалов M = 9 (т);

- цены сырья Ps=1 (тыс. руб./т) и материалов Pm=3(тыс.руб./т).

Введем переменные х1, х2, х3 - объемы производства соответст-

вующих видов продукции в условно-натуральных единицах.

Модель имеет вид:

Стоимость С 20 х1 + 20 х2 + 24 х3 ® max

Труд Т 2 х1 + 3 х2 + 4 х3 £ 12 (тыс. чел.-ч)

Сырье S 4 х1 + 2 х2 + 6 х3 £ 16 (т)

Материалы М 1 х1 + 3 х2 + 4 х3 £ 9 (т)

х1, х2, х3 ³ 0

Проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показате-

ли эффективности использования различных видов ресурсов при

выпуске каждого вида продукции:

i j

j

i j a

C

K = , " i, j,

где C j – цена j-ой продукции, a ij – норма расхода i-го ре-

сурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результа-

тов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятель-

ности), то есть являются показателями эффективности.

10

2

20

1 KT = = (т.р./т.Ч-Час),

3

2

6

3

20

2 KT = = ; 6

4

24

3 KT = = ,

5

4

20

1 K S = = (т.р./т), 10

2

20

2 K S = = ; 6

4

24

3 K S = = ,

20

1

20

1 K M = = (т.р./т),

3

2

6

3

20

2 K M = = ; 6

4

24

3 K M = = .

Экономически эти коэффициенты можно трактовать как по-

казатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго

и третьего видов. Так, показатель K S 1 = 5 тыс. руб./т показывает,

что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном

счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что

K S 1 характеризует эффективность использования сырья при вы-

пуске продукции первого вида.

Анализ коэффициентов показывает, что с точки зрения тру-

дозатрат выгоднее всего продукция 1, так как у нее самый боль-

34

шой KТ 1 = 10. С точки зрения затрат сырья – продукция 2 (K S 2 = 10),

материалов – также продукция 1 (K М 1 = 20).

Производство продукции 3, несмотря на самую высокую це-

ну (С3 = 24.тыс. руб.), невыгодно с точки зрения использования

всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели

эффективности по труду, сырью и материалам.

Такой предварительный анализ позволяет сделать вывод, что

продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее

обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена

из модели. Модель примет вид:

С 20 х1 + 20 х2 ® max

Т 2 х1 + 3 х2 £ 12

S 4 х1 + 2 х2 £ 16

М 1 х1 + 3 х2 £ 9

х1 ³ 0

х2 ³ 0

Решим задачу графически (рис.4.1). Ограничения T, S, M оп-

ределяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии огра-

ничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В,

которая и является оптимальным планом

ˆ = (3,2) хB

Ресурсы используются полностью:

ТВ = 12 (т.чел.-ч), SB = 16 (т), МВ = 9 (т).

Общая стоимость выпускаемой продукции:

СВ = 20 ・ 3 + 20 ・ 2 = 100 (тыс. руб.).

Эффективность использования ресурсов можно оценить по

показателям Ki :









-

= =

тыс чел ч

тыс руб KT

. .

. .

3

1

8

12

100







 = =

т

тыс руб K S . .

4

1

6

16

100







 = =

.

. .

9

1

11

9

100

т

тыс руб K M

Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве

необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по

35

сравнению с полученным ранее оптимальным планом ˆ = (3,2) В Х

и С = 100 тыс. руб.

Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов сырья

и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирую-

щим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск

продукции.

Рис. 4.1. Графическое решение исходной задачи.

Исследование эффективности вовлечения дополнитель-

ных ресурсов.

Оценим, как изменяется эффективность использования ре-

сурса (сырья) по мере его вовлечения в систему, причем для на-

глядности во всем диапазоне его изменения (от 0 и выше). При

любом объеме ресурса предприятие каждый раз выбирает опти-

мальную стратегию выпуска, соответствующую максимальному

его стоимостному объему. При исходных объемах ресурсов вре-

мени и материалов получим модель:

С 20 х1 + 20 х2 ® max

Т 2 х1 + 3 х2 £ 12

S 4 х1 + 2 х2 £ S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Х2

Х1

B

E

A

(S)

(M)

(C

C D

XB= (3,2)

CB= 100 (т.р.)

ТВ= 12 (т.ч.-ч.)

SB= 16 (T)

MB= 9 (T)

36

М 1 х1 + 3 х2 £ 9

х1 , х2 ³ 0

Это параметрическая задача, в которой параметр SÎ(0,¥) .

Решим ее графически и определим зависимость максимального

стоимостного выпуска от объема ресурса S в системе, то есть

( ) max{(20 20 ) / (0, )}. 1 2 F S = x + x S Î ¥

Для графического решения задачи построим множество до-

пустимых решений, определяемое только постоянными ограниче-

ниями Т и М (рис. 4.2). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем

изменять величину объема сырья S и для каждого его значения

отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Ре-

зультаты будем заносить в таблицу 4.2.

Таблица 4.2.

Объем сы-

рья (т)S

Оптималь-

ный планхˆ

Максимум

стоимости

выпуска

(тыс. руб.)

F (S)

Потребный

Объем

Т(т.чел.-т)

Потребный

объем мате-

риалов М

(т)

Обозначе-

ния точки на

графике

0

4

6

16

24

36

0 , 0

0 , 2

0 , 3

3, 2

6 , 0

6 , 0

0

40

60

100

120

120

0

6

9

12

12

12

0

6

9

9

6

6

0

К

А

В

D

G

Пусть S = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции

невозможен, так как сырье необходимо для производства обеих ее

видов. Оптимальный план х0 = (0,0). Зададим _______небольшую величи-

ну объема сырья, например, S = 4. Ограничение по сырью примет

вид:

4х1 + 2х2 £ 4,

и может быть построено на графике (рис.4.2).

Множество допустимых планов OKL определяется лишь дан-

ным ограничением, остальные ресурсы M и Т при S = 4 избы-

точны.

Перемещая линию стоимости С параллельно себе, находим

точку, в которой С принимает максимальное значение. Это точка

К. Оптимальный план К хˆ = (0,2). Подставляя значения х1=0 и

х2=2 в соответствующие ограничения, находим потребные объе-

37

мы ресурсов и значение целевой функции СК= 40 (тыс. руб.). Ре-

зультаты заносим в таблицу 4.2.

Заметим, что при изменении S от 0 и до 4 (т), точка опти-

мума перемещается по оси х2 вверх (на рис.4.2 изображено

стрелкой). Это движение продолжается до точки А , в которой

начинает действовать ограничение по материалам М . То есть с

увеличением S точка оптимума обязательно совпадет с точкой А.

Запишем в таблицу 4.2 значение оптимального плана К хˆ =(0,2).

Теперь подстановкой находим значение SА=6 , значение целевой

функции Cn=60 и потребные объемы ресурсов. Результаты зано-

сим в таблицу 4.2.

Таким образом, при графическом решении параметрической

задачи необходимо проследить траекторию движения оптималь-

ной точки по границам области допустимых решений OABD . Так,

при S > 6 (рис. 4.2, линия HN), область допустимых планов

OAHN, оптимальный план H хˆ .

То есть точка оптимума движется по ограничению М из

точки А в точку В и обязательно попадает в точку В. Как и ра-

нее, заносим оптимальный план в таблицу 4.2 и пересчитываем

значение ресурса S , целевой функции и потребные значения про-

чих ресурсов М и Т.

При достижении каждой вершины многоугольника OABD

необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при даль-

нейшем увеличении ресурса S . Так точка В , S = 16, соответст-

вует исходной задаче. При дальнейшем увеличении ресурса S>16

в конечном счете точка оптимума попадет в точку D , что соот-

ветствует условиям задания 2 и S=24. Если S>24, например,

S=36, то ресурс сырья является избыточным и оптимальная точка

все равно остается в точке D.

На основании таблицы 4.2 и рис.4.2 построим график зави-

симости оптимального значения стоимости выпуска от величины

ресурса сырья S (рис. 4.3).

Поскольку для каждого значения ресурса сырья мы искали

максимальное (а не произвольное) значение стоимости выпуска,

полученный график отражает закономерность соотношения ре-

зультатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.4.3 за-

висимость называется линией невозрастающей эффективности и в

упрощенном виде отображает закон, сформулированный извест-

38

ным экономистом В.В. Новожиловым для условий нейтрального

научно-технического прогресса (неизменная производительность

труда, материально- и фондоемкость продукции). Суть этого зако-

на состоит в следующем. Число эффективных способов использо-

вания дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при во-

влечении ресурса в производственную систему каждая его допол-

нительная единица будет использоваться с невозрастающей эф-

фективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона

является то, что экстенсивное развитие в конечном счете приведет

к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономи-

ке.

В нашем примере для роста стоимости выпуска от 0 до 60

тыс. руб. требуется вовлечение в производство 6 т сырья (точка А),

а для прироста стоимости еще на 60 тыс. руб., то есть до 120 тыс.

руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 18 т сырья, доведя

общий его объем до 24 т. Дальнейшее увеличение выпуска при по-

стоянных прочих ограничениях невозможно.

Рассчитаем количественные характеристики эффективности.

Это можно сделать двумя способами.

Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как

отношение абсолютных величин результата и затрат:







 =

Т

тыс руб

S

C

E

. .

и показывает среднее значение результата на единицу затрат.

Они малочувствительны к пролеживанию ресурсов. Так, при S =

24 ED = 5 (рис.4.3), а при S = 36 EG = 10/3. Вместе с тем из рисунка

видно, что при S = 36 вообще не используется 36–24=12(т) ресур-

са. Учитывая характер линии эффективности, видно, что абсолют-

ные показатели не годятся для прогнозных расчетов дополнитель-

ного вовлечения ресурсов.

39

Рис.4.2. Графическое решение параметрической задачи.

Рис.4.3. Линия эффективности использования ресурса S.

Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются

как отношение приростов результата и затрат:





 

D

e = D

Т

тыс руб

S

С . .

и показывают, как изменится результат при дополнительном

вовлечении единицы ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X1

X2

(C)

(T)

L N

B

G

(M)

D

s=4 s=6 s>6 s=16 s>16 s=24 s=36

A

K

P

H

0

20

40

60

80

100

120

140

S(T)

D G

B

A

K

F(S)= max (20x1 +20x2) eDG=0

EB=100/16=6,25

ED=(120/24)=5

eBD=(120-100)/(24-6)=2,5

EG=3,33

e =(100-60)/(16-6)=4

E=60/6= 10

eOA=(60-0)/(6-0)= 10

4 6 16 24 36

40

процессе моделирования объекта и соответствуют двойственным

оценкам ресурсов при заданных их объемах.

В реальной экономике показатели эффективности строятся

как абсолютные или приростные.

Итак, в нашем примере при малых объемах S < 6 сырье –

единственный дефицитный ресурс и в оптимальный план входит

продукция 2, самая эффективная с точки зрения его использова-

ния. (K2S = 10) и не входит продукция 1 (K1S = 5[тыс.руб. /T ]). В

точке А в силу вступает ограничение по материалам М. Для даль-

нейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении

сырья S > 6 в план включается первый вид продукции, более вы-

годный с точки зрения использования материалов

3[ . .].

20 6 2 K1 K2 тыс руб M = > M =

Продукция 2 постепенно выводится из оптимального плана,

при S ≥ 16 становится лимитирующим ограничением по труду, а

материалы избыточны. Но так как продукция 1 более выгодна и с

точки зрения трудозатрат,

KT = > KT = 3[тыс.руб. /тыс.чел. - ч]

10 6 2 1 2 , она продолжает

вводиться в оптимальный план вплоть до точки D.

Используя график невозрастающей эффективности, можно

оценить переход от исходного плана xˆB = (3,2) к новому xˆD .

При подобном переходе эффективность использования до-

полнительно вовлекаемых 8т сырья составит

eBD = 2,5[тыс.руб. /т], тогда как в исходном плане она составляла

еще [тыс руб т] АВ e = 4 . . / , то есть сырье будет использоваться ме-

нее эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс явля-

ется дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли),

на него может быть установлен норматив эффективности. Так, ес-

ли бы в нашем примере был установлен, например, норматив

eBD = 2,5[тыс.руб. /т], предприятие не имело бы права дополни-

тельно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что

эффективность его использования eBD = 2,5[тыс.руб. /т] была бы

ниже нормативной eBD = 2,5[тыс.руб. /т].

Взаимные задачи как метод моделирования сложных систем

Взаимные оптимизационные задачи – это пара задач ска-

лярной оптимизации народнохозяйственного плана, в которых с

41

разных сторон отыскивается наилучшее распределение дефицит-

ных ресурсов. Максимизируемая в одной из задач целевая функ-

ция образует ограничивающее условие (ограничение) для другой.

И наоборот, минимизируемая целевая функция второй задачи

служит ограничением для первой задачи.

Суть использования аппарата взаимных задач кратко можно

сформулировать следующим образом.

Исходная задача (обозначим ее А) заменяется при необходи-

мости по специальным правилам на соответствующую ей взаим-

ную задачу (задача В); решение же последней позволяет отыскать

оптимальный план исходной задачи.

Теория взаимных оптимизационных задач имеет в экономи-

ко-математическом моделировании разнообразное применение.

Нередко оказывается, что задачи, являющиеся взаимными, принад-

лежат разным классам задач математического программирования

(например, А – задача квадратического программирования, а В –

линейного). Тогда решение более сложной задачи можно свести к

решению задачи более простой математической структуры.

Достаточно часто целевые функции конкретных моделей не

могут быть выражены в аналитическом виде, т. е. количественно. В

этом случае использование теории взаимных задач может обеспе-

чить решение такой не решаемой обычными методами модели.

Понятие взаимных задач, кроме того, позволяет установить

эквивалентность двух основных модификаций оптимизационных

экономико-математических моделей: максимизации результата

(конечной продукции) при ограниченных ресурсах и минимизации

затрат ресурсов на производство заданного объема конечной про-

дукции. Преимущества же критерия минимизации затрат ресурсов

очевидны: измерение затрат на производство различных продук-

тов и услуг является гораздо более легкой задачей, чем системати-

зация наборов экономических благ по их общественному полезно-

му эффекту. Решение задач с рассматриваемым критерием позво-

ляет оценивать эффективность тех или иных хозяйственных меро-

приятий величиной сэкономленных затрат, т. е. оперировать при-

вычными показателями, широко используемыми в локальных эко-

номических расчетах.

Рассмотрим основные положения теории взаимных задач, как

в общем виде, так и проиллюстрировав, на конкретном числовом

42

примером.

Исходная задача А может быть записана в этом случае сле-

дующим образом:

Общий вид задачи Конкретная модель

x

f (x)®max , x

x x max 1 2 + ® ,

g x b i i i ( ) £ ," ,

  

+ £

+ £

2 12,

3 21,

1 2

1 2

x x

x x

x ³ 0. , 0 1 2 x x ³ .

Из множества всех видов используемых ресурсов выделим

дефицитные ресурсы. Ресурс называется дефицитным, если лю-

бое изменение его количества ведет к изменению оптимально-

го значения целевой функции модели. Вопрос о выделении из

всего множества используемых в модели ресурсов устойчиво де-

фицитного решается в каждом конкретном случае на качественном

концептуальном уровне.

Замечательным свойством дефицитного ресурса iдеф является

его полное использование в оптимальном плане xopt, что обращает

неравенство gi деф (x) £ bi деф в строгое равенство.

Выделим из всех ограничивающих условий для специального

рассмотрения ограничение по одному (любому) дефицитному ре-

сурсу и обозначим его h(x) £ а, подчеркнув еще раз, что h(xopt) = a.

Тогда исходная задача А запишется следующим образом:

В общем виде Конкретная модель

x

f (x)®max , x

x x max 1 2 + ® ,

h(x) £ a , 3 21 1 2 x + x £

g x b i i i ( ) £ ," , 2 12 1 2 x + x £

x ³ 0 . , 0 1 2 x x ³ .

Обозначим оптимальное значение целевой функции исход-

ной задачи f x C opt ( ) = и сформулируем условия

* перехода от ис-

ходной задачи А к взаимной по отношению к ней задаче В.

* Общая теорема взаимности сформулирована и доказана А. Г. Аганбегяном и К. А. Баг-

риновским.

43

1. Зафиксировать оптимальное значение C целевой функции

исходной задачи А и ввести ограничение f (x) ³ C в систему ограни-

чений взаимной задачи В.

2. В качестве минимизируемой целевой функции взаимной

задачи В взять функцию затрат дефицитного ресурса h(x) исходной

задачи А.

Тогда задача В (взаимная) запишется следующим образом:

В общем виде Конкретная модель

x

f (x)®min , x

x 3x min 1 2 + ® ,

f (x) ³ C , x + x ³ C 1 2

g x b i i i ( ) £ ," , 2 12 1 2 x + x £

x ³ 0 . , 0 1 2 x x ³ .

Решение взаимной задачи В, как следует из вышеизложенно-

го, предполагает знание в общем случае априори неизвестного

максимально достижимого уровня C целевой функции исходной

задачи А. Однако теория взаимных задач позволяет решать соот-

ветствующие задачи в итеративном режиме параметрического

программирования относительно возрастающего параметра C .

Укрупненный алгоритм расчета может быть при этом сле-

дующим.

1. Экспертным путем (либо на основании опыта лица, при-

нимающего решения) задается первоначальная оценка оптималь-

ного значения целевой функции исходной задачи C .

2. Решается взаимная задача В, в результате отыскивается ее

оптимальный план xopt (C) B .

3. С использованием замечательного свойства дефицитного

ресурса осуществляется проверка найденного в п. 2 решения на

оптимум (исходной задачи). Признаком его нахождения будет

выполнение строгого равенства h x C a B [ opt ( )] = , т. е. полное ис-

пользование дефицитного ресурса. В этом случае x B x А

opt = opt и

процесс решения заканчивается. В противном случае – переход к

п. 4.

4. Корректировка оценки оптимального значения целевой

функции исходной задачи и переход к п. 2.

Очевидно, что реализация четвертого этапа алгоритма долж-

44

на обеспечивать максимальную эффективность работы алгоритма

с точки зрения его сходимости к оптимальному решению. Ско-

рость сходимости алгоритма является одним из важнейших пока-

зателей качества экономико-математических моделей: обычно она

оценивается количеством итераций, необходимых для получения

искомого решения.

Контрольные вопросы

1. Как определяется эффективность вовлечения дополнитель-

ных ресурсов?

2. Как найти показатели ресурсоотдачи?

3. Перечислите основные элементы графического решения за-

дачи

4. Как находится точка оптимума при графическом решении за-

дачи?

5. Что показывает линия невозрастающей эффективности?

6. Какие коэффициенты эффективности вы знаете?

7. В чем суть взаимных оптимизационных задач? Приведите

условия их применения.