3.5. Общий алгоритм Брезенхема
Для получения общего алгоритма растровой развертки необходимо избавиться от ограничений, которые мы до сих пор накладывали на расположение отрезка на плоскости, а именно от требования 0k1.
Чтобы реализация алгоритма Брезенхема была полной, необходимо обрабатывать отрезки во всех квадрантах. Модификацию легко сделать, учитывая номер квадранта, в котором лежит отрезок и его угловой коэффициент. Когда абсолютная величина углового коэффициента больше 1, y постоянно изменяется на единицу, а критерий ошибки Брезенхема используется для принятия решения об изменении величины x. Выбор постоянно изменяющейся (на +1 или –1) координаты зависит от квадранта (рис.3).
|
x=x-1 y=y+1
|
x=x+1 y=y+1
|
|
x=x-1 y=y-1 |
x=x+1 y=y-1
|
Рис.3. Общий алгоритм Брезенхема
Таким образом, учитывая ориентацию отрезка относительно положительных направлений осей координат и меняя переменные x,y в случае k по модулю больше 1, получаем окончательную общую версию алгоритма Брезенхема, которая называется восьмисвязной разверткой отрезка.
Пример процедуры общего алгоритма Брезенхема для восьмисвязной развертки отрезка:
Procedure Line_8 (x1,y1,x2,y2: integer);
Var
x,y,s1,s2,dx,dy,e,z: integer;
change: boolean;
Begin
x:=x1; y:=y1; dx:=abs(x2-x1); dy:=abs(y2-y1);
s1:=sign(x2-x1); s2:=sign(y2-y1);
if dy>dx then
begin
z:=dx; dx:=dy; dy:=z; change:=true
end
else change:=false;
e:=2dy-dx;
for i:=1 to dx do
begin
PutPixel (x,y,color);
While e>=0 do
begin
if change then x:=x+s1 else y:=y+s2;
e:=e-2dx
end;
if change then y:=y+s2 else x:=x+s1;
e:=e+2dy
end;
PutPixel (x,y,color)
End.
Функция sign возвращает значения –1,0,+1 для отрицательного, нулевого и положительного аргумента соответственно (реализована не во всех версиях Паскаля).
3.6. Алгоритм Брезенхема для генерации окружности
В растр нужно разлагать не только линейные, но и другие, более сложные функции.
Д
ля
того чтобы нарисовать окружность
необходимо сгенерировать только 1/8
часть. Остальные ее части могут быть
получены последовательными отражениями.
Если сгенерирован первый октант (от 0
до 45 против часовой
стрелки), то второй октант можно получить
зеркальным отражением относительно
прямой y=x,
что дает в совокупности первый квадрант.
Первый квадрант отражается относительно
прямой x=0 для получения
соответствующей части окружности во
втором квадранте. Верхняя полуокружность
отражается относительно прямой y=0
для завершения построения полной
окружности (рис.4).
Рис.4. Генерация окружности
Д
ля
вывода алгоритма рассмотрим первую
четверть окружности с центром в начале
координат (рис.5). Заметим, что если
работа алгоритма начинается в точке
x=0, y=R,
то при генерации окружности по часовой
стрелке в первом квадранте y
является монотонно убывающей функцией
аргумента x. Аналогично,
если исходной точкой является точка
x=R,
y=0, то при генерации
окружности против часовой стрелки x
будет монотонно убывающей функцией
аргумента y.
Предположим, что центр окружности и начальная точка находятся точно в точках растра, выберем для нашего случая генерацию по часовой стрелке с началом в точке x=0, y=R.
Д
ля
любой заданной точки на окружности при
генерации по часовой стрелке существует
только три возможности выбрать следующий
пиксель, наилучшим образом приближающий
окружность (рис.6): горизонтально вправо,
по диагонали вниз и вправо, вертикально
вниз. Алгоритм выбирает пиксель, для
которого минимален квадрат расстояния
между одним из этих пикселов и окружностью,
т.е. минимум из следующих выражений:
,
,
.
Разность
между квадратами расстояний от центра
окружности до диагонального пикселя
(
)
и от центра до точки на окружности R2
равна
.
Как и в алгоритме Брезенхема для отрезка, для выбора соответствующего пикселя желательно использовать только знак ошибки, а не ее величину.
При
<0
диагональная точка (
)
находится внутри реальной окружности,
в этой ситуации следует выбрать либо
пиксель (
),
т.е.
,
либо пиксель (
),
т.е.
.
Далее проверяется разность квадратов
расстояний от окружности до пикселов
в горизонтальном и диагональном
направлениях:
.
При
<0
расстояние от окружности до диагонального
пикселя (
)
больше, чем до горизонтального пикселя
(
).
Напротив, если >0,
расстояние до горизонтального пикселя
(
)
больше. Таким образом:
-
при 0 выбираем
в точке (
), -
при >0 выбираем
в точке (
), -
при =0, когда расстояние от окружности до обоих пикселов одинаково, выбираем горизонтальный шаг.
Если
>0,
то диагональная точка (
)
находится вне окружности.
В данной ситуации ясно, что должен
быть выбран либо пиксель (
),
т.е.
,
либо (
),
т.е.
.
Далее проверяется разность между
квадратом расстояний от окружности до
диагонального пикселя
и
вертикального
пикселов, т.е.
.
При
<0
расстояние от окружности до вертикального
пикселя (
)
больше и следует выбирать диагональный
шаг
к пикселю (
).
Напротив, в случае
>0
расстояние от окружности до диагонального
пикселя больше и следует выбрать
вертикальное движение к пикселю (
).
Таким образом:
-
при
0
выбираем
в (
), -
при
>0
выбираем
(
), -
здесь в случае
=0,
т.е. когда расстояния равны, выбран
диагональный шаг.
Подведем итог полученных результатов:
<0
0 выбираем
пиксель (
)
,
>0 выбираем
пиксель (
)
,
>0
0
выбираем пиксель (
)
,
>0
выбираем пиксель (
)
,
=0
выбираем пиксель (
)
,
Легко
разработать простые рекуррентные
соотношения для реализации пошагового
алгоритма. Сначала рассмотрим
горизонтальный шаг
к пикселю (
).
Обозначим это новое положение пикселов
(i+1). Тогда координаты
нового пикселя и значение
равны:
,
,
Аналогично
координаты нового пикселя и значение
для шага
к пикселю (
)
таковы:
,
,
.
То
же самое для шага
к пикселю (
)
:
,
,
.
Выполняя частные алгебраические преобразования и используя метод Брезенхема, получим следующий алгоритм:
Procedure Mich_Circle (radius; color: integer);
Var
x,y,d: integer;
Begin
x:=0;
y:=radius;
d:=3-2radius
While x<y do
begin
CirclePoint (x,y,color);
if d<0 then d:=d+4x+6
else
begin
d:=d+4(x-y)+10;
y:=y-1
end;
x:=x+1
end;
if x=y then CirclePoint (x,y,color)
End.
Процедура CirclePoint имеет вид:
Procedure CirclePoint (x,y,color: integer);
Begin
PutPixel (x,y,color);
PutPixel (y,x,color);
PutPixel (y,-x, color);
PutPixel (-x,-y, color);
PutPixel (x,-y, color);
PutPixel (-y,-x, color);
PutPixel (-y,x, color);
PutPixel (-x,y, color)
End.