Моментов бы Главный вектор и главный момент плоской системы сил

Рассмотрим плоскую систему сил (F₁, F₂, ..., F_n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F₁ + F₂ + ... + F_n =  F_i.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L_O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L_O = M_O(F₁) + M_O(F₂) + ... + M_O(F_n) =  M_O(F_i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L_O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L_O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Центр тяжести

        геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). Если свободное тело подвешивать на нити, прикрепляемые последовательно к разным точкам тела, то направления этих нитей пересекутся в Ц. т. тела. Положение Ц. т. твёрдого тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра масс (См. Центр масс). Разбивая тело на части с весами p_k, для которых координаты x_k, y_k, z_kих Ц. т. известны, можно найти координаты Ц. т. всего тела по формулам:

         

         Ц. т. однородного тела, имеющего центр симметрии (прямоугольная или круглая пластины, шар, цилиндр и др.), находится в этом центре.ла равна нулю.Значит, систему пар или одну пар можно уравновесить только парой.

В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов.

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

 

Статический момент площади

Если на поверхности плоской геометрической фигуры площади А выделить элементарную площадкуdA (рисунок 1), то можно определить статические моменты и моменты инерции этой фигуры относительно осей х и у.

Под статическим моментом площади относительно некоторой оси понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:

• статический момент площади относительно оси х 

• статический момент площади относительно оси у 

Если известны статические моменты  и  относительно осей x и y, то можно рассчитать значения статических моментов  и относительно осей  и , смещенных на расстояния b и a соответственно ординаты текущей точки в смещенной системе координат имеют вид По определению  статические моменты  и  равны

Полученный результат позволяет сформулировать следующее определение: статический момент площади фигуры относительно оси, смещенной параллельно исходной, равен статическому моменту относительно исходной оси минус произведение площади этой фигуры на расстояние переноса.

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными. Очевидно, что статические моменты площади фигуры относительно центральных осей равны нулю. Если координаты центра тяжести относительно некоторой произвольной системы координат обозначить через , то из равенства нулю статического момента имеем  так что 

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны и не равны нулю, а центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения сечения относительно осей. [1]Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны; в то же время выражение ( А. [2]Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражения под знаки интегралов входят величины площадок dF ( всегда положительные) и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса. [3]Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как они представляют сумму положительных чисел. В нуль осевой момент инерции может обратиться только в одном частном случае, когда все материальные точки системы расположены на оси, относительно которой вычисляется момент инерции. [4]Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражения под зна си интегралов входят величины площадок dF ( всег ja положительные) и квадраты расстояний этих плока-док от данной оси или полюса. [5]Величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны и не могут быть равными нулю, поскольку в формулы ( 53), ( 54), ( 55) х, у и р входят в квадрате. [6]Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны. [7]Работа посвящена вопросам проектирования и исследования механизмов с фотоэлектронными устройствами, предназначенных для автоматических бесконтактных измерений и контроля линейных размеров деталей, определения различных геометрических параметров плоских фигур ( радиусов-векторов, площадей, положений центров тяжести, статистических моментов, осевых и полярных моментов инерции, моментов высших порядков), статистической обработки экспериментальных кривых и осуществления программированных перемещений. [8]

Воздействия, испытываемые стойкой от согнувшей ее руки (см. рис. 42), доской от груза (см. рис. 44), цилиндрическим стерж­нем болта при навинчивании гайки гаечным ключом (см. рис. 45) и т. д., представляют собой внешние силы илинагрузки. Силы, возникающие в местах закрепления стойки и опирания доски, называются реакциями.По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распре­деленные).Виды и классификация нагрузок:Сосредоточенные нагрузки передают свое действие через,очень малые площади. Примерами таких нагрузок могут служить давление колес железнодорожного вагона на рельсы, давление тележки тали на монорельс и т. д.Распределенные нагрузки действуют на сравнительно большой площади. Например, вес станка передается через станину на всю площадь соприкосновения с фундаментом.По продолжительности действия принято различать постоянные и переменные нагрузки. Примером постоянной нагрузки может слу­жить давление подшипника скольжения — опоры валов и осей — и его соб­ственный вес на кронштейн.Переменной нагрузке подвержены в основном детали механизмов пери­одического действия. Одним из таких механизмов служит зубчатая переда­ча, у которой зубья в зоне контакта смежных пар зубчатых колес испыты­вают переменную нагрузку.По характеру действия нагрузки могут быть статическими и динамическими. Статические нагрузки почти не изменяются в тече­ние всего времени работы конструкции (например, давление ферм на опо­ры).Динамические нагрузки действуют непродолжительное время. Их воз­никновение связано в большинстве случаев с наличием значительных уско­рений и сил инерции.Динамические нагрузки испытывают детали машин ударного действия, таких, как прессы, молоты и т. д. Детали кривошипно-шатунных механиз­мов также испытывают во время работы значительные динамические на­грузки от изменения величины и направления скоростей, то есть наличия ускорений.

Деформа́ция (от лат. deformatio — «искажение») — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещениемотносительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоковатомов. Обычно деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое механическое напряжение.Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести).Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия(другими словами, атомы не выходят за пределы межатомных связей); в основе необратимых — необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия(т.е. выход за рамки межатомных связей, после снятия нагрузки переориентация в новое равновесное положение).Пластические деформации — это необратимые деформации, вызванные изменением напряжений. Деформации ползучести — это необратимые деформации, происходящие с течением времени. Способность веществ пластически деформироваться называется пластичностью. При пластической деформации металла одновременно с изменением формы меняется ряд свойств — в частности, при холодном деформировании повышается прочность.

Деформация растяжения возникает тогда, когда на стержень или трос действуют внешние силы, приложенные к их концам, направленные в разные стороны и совпадающие с продольной осью этих тел.При этом наблюдается не только удлинение тела, но и уменьшение площади его поперечного сечения. Это и показано на модели тела, изображенной в верхней части таблицы.Деформация сжатия наблюдается в стержнях отно­сительно коротких под действием внешних сил, направ­ленных навстречу друг другу. Этот вид деформации не­возможен в тросах и стержнях относительно длинных. В длинных стержнях может возникнуть явление про­дольного изгиба тела или иного вида в зависимости от способа крепления стержня. При продольном изгибе возможно и частичное сжатие.Сжатие или любой другой вид деформации может иметь место под действием как статической, так и дина­мической нагрузки. В левой части таблицы показано сжатие короткого стержня гвоздя под ударом молотка. Если же стержень гвоздя будет достаточно длинным, то под действием продольной силы со стороны молотка гвоздь может согнуться, т. е. произойдет продольный из­гиб гвоздя. Этот вид деформации в школьном курсе фи­зики не рассматривается.Деформация сдвига возникает тогда, когда на тело, например брусок, действует сила параллельно основа­нию. В этом случае происходит смещение горизонталь­ных слоев в теле относительно друг друга без изменения их размеров.Отрезок, на который сместился верхний слой тела толщиной х, называют абсолютным сдвигом ∆x, угол α — углом сдвига. При малом угле сдвига (если угол α выражен в радианах):поэтому угол α часто называют относительным сдвигом. Деформации сдвига подвержены болтовые, заклепоч­ные и шпоночные соединения деталей. Этот вид дефор­мации наблюдается также в местах крепления балок, в шлицевых соединениях и т. д.; в элементах бытовых конструкций: стульях, столах и прочей мебели. В ниж­ней части таблицы показана деформация сдвига на при­мере одной ступеньки деревянной лестницы и штыревое соединение двух деталей, которое применяется при креплении автомобильных и тракторных прицепов.Следует иметь в виду, что в конструкциях этого вида деформации не бывает в чистом виде. Например, в за­клепочном соединении пренебрегают изгибом и растя­жением стержня заклепки.Деформации, представленные на второй таблице, не являются самостоятельным видом деформаций, так как они сводятся к двум наиболее простым — растяжению (сжатию) и сдвигу.Деформация изгиба возникает тогда, когда на балку, установленную на опорах, действуют поперечные силы (направлены перпендикулярно детали) и вызывают из­гиб, получивший название поперечного. Поперечному изгибу подвергаются фермы мостов, балки перекрытий в зданиях, а также доски пешеходных мостиков и т. д.Рассмотрим поперечный изгиб на модели, изображен­ной в верхней части таблицы. Представим себе балку, со­стоящую из продольных горизонтальных слоев. При из­гибе балки ее слои с выпуклой стороны растягиваются, а с вогнутой — сжимаются. Средний слой деформации не подвергается, его называют нейтральным. Наибольшему растяжению и сжатию подвергаются крайние слои. По­этому для уменьшения изгиба балки следует металл рас­пределять на верхней и нижней границах балки. В плос­кости нейтрального слоя толщина металла может быть небольшой. Этим объясняется создание двутавровых ба­лок. Если балка должна оказывать по всем направлени­ям одинаковое сопротивление изгибу, то наиболее выгод­ной будет трубчатая форма балки.Рамы велосипедов и мотоциклов, фабричные трубы, стебли многих растений и кости животных имеют труб­чатую форму.Деформация кручения сопровождается поворотом поперечных сечений стержня вокруг его оси. Такая де­формация имеет место в том случае, когда к концам стержня приложены пары сил, действующих в плоскос­тях концевых поперечных сечений и имеющих равные моменты. Моменты этих пар называют крутящими мо­ментами.Деформацию скрученного стержня можно предста­вить как результат поворота сечений. Угол поворота ф одного сечения относительно другого, находящегося от него на расстоянии l₀, называется углом закручивания стержня длиной l₀. Угол закручивания, отнесенный к единице длины стержня, называется относительным уг­лом закручивания:В средней части таблицы на модели показаны дейст­вующие силы и относительный поворот сечений (слоев) стержня при его закручивании. Деформация кручения в быту показана на примере работы стержня отвертки, а в технике — на примере работы сверла и шпинделя ручной дрели.Срез — предельный случай сдвига, когда силы упру­гости не могут уравновесить внешних сил. Примером сре­за в технике может служить разрушение заклепочных и болтовых соединений, в которых внешние силы действу­ют перпендикулярно оси болтов и заклепок, а также на примере штамповки деталей. На явлении среза основана работа режущего инструмента, в частности ножн

метод сечения Для определения любого внутреннего усилия используется метод сечений, который включает в себя 4 действия.

1) Режим стержень сечением MN на 2 части.

2) Отбрасываем одну из частей.

3) т.к. элемент находится в равновесии, то заменим действие отброшенной части внутренним силовым фактором.

4) Уравновешиваем оставшуюся часть уравнениями статики

-Р+N=0 N=P

При растяжении стержня его первоначальная длина L увеличивается до L₁. Разность между этими значениями называется абсолютным удлинением:∆l = L₁ - L.Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине называется относительным удлинением и обозначается ε:ε = ∆l / L.На основании закона Гука для упругих деформаций существует пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и относительным удлинением:σ = Еε,где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости при растяжении, кгс/см² (Па).Для различных материалов, модуль упругости колеблется в широких пределах.Если представить деформацию сжатия, обратную растяжению, в процессе которой тело под действием внешних сил сжимается, то для обеих деформаций можно вывести общее условие прочности детали: действительное напряжение в детали не должно превышать допустимого при растяжении [σ]_р или при сжатии [σ]_сж.В тех случаях, когда из условия прочности надо определить площадь поперечного сечения детали, пользуются формулойF = P / [σ]_р(сж).

Испытание на растяжениеЭто – один из самых распространенных видов механических испытаний. Оно позволяет по результатам одного опыта определить сразу несколько важных характеристик материала, являющихся критерием его качества. Испытание образцов на растяжение проводится наразрывных машинах с механическим или гидравлическим приводом. Эти машины снабжены специальным приспособлением, на котором при испытании автоматически записывается диаграмма растяжения. Тщательно подготовленный образец помещают в захваты мощной машины, которая прикладывает к нему растягивающие усилия. Регистрируется удлинение, соответствующее каждому значению растягивающего напряжения. По этим данным может быть построена диаграмма напряжения – деформация. При малых напряжениях заданное увеличение напряжения вызывает лишь небольшое увеличение деформации, соответствующее упругому поведению металла. Наклон линии напряжение – деформация служит мерой модуля упругости, пока не будет достигнут предел упругости. Выше предела упругости начинается пластическое течение металла; удлинение быстро увеличивается до разрушения материала. Предел прочности при растяжении – это максимальное напряжение, которое металл выдерживает в ходе испытания. При испытании на растяжении определяют следующие характеристики механических свойств:пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности, истинного сопротивления разрыву, относительное удлинение и сужение.Испытание на сжатиеИспытания проводят на тех же машинах, что и на растяжение. Образец устанавливают на опорную плиту в нижнем захвате и сжимают подвижным захватом. По мере сжатия на торцовых поверхностях образца возникают силы трения , направленные по радиусам к его центру и прептствующие деформации в горизонтальном положении. В результате образец приобретает характерную бочкообразную форму. При испытании на сжатие машина может зафиксировать первичную диаграмму сжатия-зависимость усилия P от высоты образца Δ h Виды диаграммы сжатия различны для материалов разрушающихся и не разрушающихся в результате испытания. В отличие от испытаний на растяжение при сжатии удается разрушит далеко не любой материал. Достаточно пластичные металлы и сплавы при сжатии расплющиваются в тонкие пластины и не разрушаются при максимально возможных условиях испытательной машины. По диаграмме сжатия определяют условные пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности.

Деформация среза используется при резании металлов штампами и ножницами. В отличие от деформации при работе детали в различного рода конструкциях, где деформация должна оставаться упругой, при резании она доводится до разрушения обрабатываемого мате-риала по плоскости среза. [1]Деформация среза - это пластическая деформация или деформация разрушения, которая наступает в нагруженном теле после деформации сдвига. [2]Деформация среза микровыступов помогает сближению поверхностей и умножению числа единичных контактов и этим облегчается образование связей. [3]Валиковые швы работают в условиях деформации среза. Обычно срез происходит по площади, проходящей через биссектрису шва. [4]Количество заклепок определяется путем расчета на деформацию среза, сжатия или растяжения с учетом плотности соединения деталей. [5]В различных элементах конструкций и машин очень часто встречается деформация среза или сдвига. [6]Крепежные дюбели пристреливают таким образом, чтобы они испытывали деформацию среза. Практика применения пристрелочного крепления показывает, что наиболее удачны дюбели диаметром 4 5 - 5 5 мм. [7]Крепежные дюбеля пристреливают таким образом, чтобы они испытывали деформацию среза. Практика применения пристрелочного крепления показывает, что наиболее удачны дюбеля диаметром 4 5 - 5 5 мм. [8]Крепежные дюбеля пристреливают таким образом, чтобы они испытывали деформацию среза. [9]В работе заклепок ( рис. 10), шпонок ( рис. И), штифтов основное значение имеют деформации среза и смятия. Действительное распределение напряжений в этих случаях сложное, и расчеты ведут по условным напряжениям, которые определяют в предположении равномерного их распределения. [10]В работе заклепок ( рис. 11), шпонок ( рис. 12), штифтов основное значение имеют деформации среза и смятия. Действительное распределение напряжений в этих случаях сложное, и расчеты ведут по условным напряжениям, которые определяют в предположении равномерного их распределения по площади среза или смятия. [11]Чем больше радиус округления режущей кромки р, тем больше износ по задней поверхности, особенно при малых толщинах среза, когда влияние р на деформацию среза и силы резания ( о7. Кручение