- •Динамика твердого тела краткая теория
- •Определение момента инерции
- •Момент инерции сплошного цилиндра
- •Теорема Штейнера
- •Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •Плоское движение твердого тела
- •Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела Момент силы
- •Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
- •Момент импульса
- •Закон сохранения момента импульса
- •Некоторые демонстрации закона сохранения момента импульса
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение Формулы алгебры и тригонометрии
- •Некоторые сведения о векторах
- •Рекомендуемая литература
Задачи для самостоятельного решения
1 Имеется тело произвольной формы. Выберем точку на некоторой оси . Мысленно разобьем тело на элементарные объемы с массами и проведем векторы из точки в точки, где находятся элементарные массы (рисунок 12). По какой из приведенных формул можно вычислить момент инерции тела относительно оси : а) ; б) ; в) ?
Рисунок 12 – Рисунок к задаче 1
2 Найти моменты инерции однородного диска массы и радиуса относительно осей, проходящих через точки и перпендикулярно его плоскости (рисунок 13).
Рисунок 13 – Рисунок к задаче 2
3 Найти момент инерции диска массы и радиуса относительно оси, лежащей в плоскости диска и совпадающей с его диаметром.
4 Пустотелый цилиндр с очень тонкими стенками имеет массу и радиус . Найти его моменты инерции относительно осей и (рисунок 14).
Рисунок 14 – Рисунок к задаче 4
5 Моменты инерции тела относительно трех осей, проходящих через точки и перпендикулярных плоскости рисунка, равны между собой. Точки и не лежат на одной прямой (рисунок 15). Найти геометрическим построением положение оси, проходящей через центр масс и параллельной указанным осям.
Рисунок 15 – Рисунок к задаче 5
6 Две частицы (материальные точки) с массами m1 и m2 соединены жестким невесомым стержнем длины l. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.
Ответ: I=μl2, где μ=m1m2/(m1+m2) – приведенная масса частиц.
7 Найти: а) моменты инерции прямоугольной пластинки относительно оси (рисунок 16); б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси z (рисунок 16), проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны и , а ее масса - . Известны масса пластинки , ее размеры и .
Рисунок 16 – Рисунок к задаче 7
8 Найти момент инерции шарового слоя малой толщины , где - средний радиус слоя. Масса шарового слоя равна .
9 Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня и его длина .
Ответ: .
10 Найти момент
инерции тонкого проволочного кольца
радиусом R
и массы т
относительно оси,
совпадающей с его диаметром.
Ответ: .
11 Тонкая однородная пластинка массы имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого .
Ответ: г·м2.
12 Вычислить момент инерции: а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина и радиус ; б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса т и радиус его основания .
Ответ: а) ; б) .
13 Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рисунок 17). Масса оставшейся (заштрихованной) части диска равна т. Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей: а) через точку ; б) через его центр масс.
Ответ: а) ; б) .
Рисунок 17 – Рисунок к задаче 13
14 Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы т и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.
Ответ: .
15 Определить момент инерции полого шара массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести. Внешний радиус шара , внутренний -.
16 Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы т и радиуса R относительно оси цилиндра.
Ответ: I=½mR2.
17 Найти момент инерции I однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра а.
Ответ: I=1/6ma2.
18 Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной а, относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамида равна m.
Ответ: I=1/10ma2.
19 Поверхностная плотность тонкого диска радиуса изменяется по закону . Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно егo плоскости.
Ответ: .
20 К точке с радиус-вектором приложена сила , а к точке с - сила . Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат , и - орты осей х и у, А и В - постоянные. Найти плечо равнодействующей силы относительно точки .
Ответ: .
21 Снаряд массы m начинает движение со скоростью v0, направленной пол углом α к горизонту. Найти зависимость момента силы тяжести снаряда относительно точки выстрела от времени. Определить эту величину для моментов нахождения снаряда в высшей и наиболее удаленной точке траектории.
Ответ: ; ; .
22 Сила с компонентами (3,4,5)(Н) приложена к точке с координатами (4,2,3,)(м). Найти: а) момент силы относительно начала координат; б) модуль вектора , в) момент силы относительно оси z.
Ответ: а) (Н·м); б) Н·м; в) Н·м.
23 Сила, приложенная к частице, имеет вид (Н). Чему равен момент этой силы относительно оси z, если точка приложения силы имеет координаты (4,2; 6,8; 0) (м).
Ответ: Н∙м.
24 К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат равен приложена сила . Найти момент силы и плечо силы относительно начала координат.
Ответ: , .
25 Частица, положение которой относительно начала отсчёта декартовой системы координат (точка О) даётся радиус-вектором (-2,1,-5)(м), имеет импульс (1,2,3)(кг·м/с). Определить: а) момент импульса частицы относительно точки О; б) моменты импульса Lx, Ly и Lz относительно осей x,y,z.
Ответ: а) (кг·м2/с); б) Lx=13 кг·м2/с, Ly=1 кг·м2/с, Lz=-5 кг·м2/с.
26 Тело массы m брошено из точки с координатами (0,2,0)(м) вверх по вертикали с начальной скоростью 10м/с. Найти приращение момента импульса Δ относительно начала координат за всё время полёта тела. Ось z направлена вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: Δ(-40,0,0) (кг·м2/с).
27 Тело массы m брошено с начальной скоростью , образующей угол α с горизонтом. Приняв плоскость, в которой движется тело, за плоскость xy и направив ось y вверх, а ось х – по направлению движения, найти вектор момента импульса тела относительно точки бросания в момент, когда тело находится в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: .
28 Момент импульса частицы относительно некоторой точки А зависит от времени по закону . Найти относительно точки А момент силы , действующий на частицу. Чему равен момент силы, когда угол между и равен 60°?
29 Диск насажен на неподвижную ось. К одной и той же точке диска
прикладывают одну из сил , или . Соотношение модулей сил указано на рисунке 18. Под действием какой из сил угловое ускорение будет наибольшим?
30 Математический маятник массы m, длины l колеблется в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение от положения равновесия равно l0 . Как изменяется момент силы тяжести маятника относительно точки подвеса в процессе движения? Нарисовать график зависимости момента силы тяжести маятника относительно точки подвеса от величины угла α.
Рисунок 18 – Рисунок к задаче 29
31 К однородному стержню массы и длины приложены две силы и (рисунок 19). Найти ускорение точки и угловое ускорение стержня. Как изменится ответ, если силу приложить к точке ?
Рисунок 19 – Рисунок к задаче 31
32 Тело произвольной формы вращается вокруг оси OO с угловой скоростью ω. Доказать, что угловая скорость вращения тела вокруг любой другой оси O'O' параллельной оси OO, также равна ω.
33 Обруч массы и радиуса вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , проходящей через центр обруча (точка ) перпендикулярно его плоскости. Найти момент импульса обруча: а) относительно точки ; б) относительно точки , лежащей на оси вращения.
34 Точка 1 тела, вручающегося с угловой скоростью , имеет в некоторый момент времени скорость . Найти для того же момента времени скорость точки 2, смещенной относительно точки 1 на .
Ответ: +.
35 Однородный шар массы движется поступательно по поверхности стола под действием постоянной силы , приложенной, как показано на рисунке 20, где угол . Коэффициент трения между шаром и столом . Найти F и ускорение шара.
Ответ: F= а=.
Рисунок 20 – Рисунок к задаче 35
36 На ступенчатый блок (рисунок 21) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой , а к концу другой нити прикреплен груз массы т. Известны радиусы и блока и его момент инерции относительно оси вращения. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.
Ответ: , где ось z направлена за плоскость рисунка 21.
Рисунок 21 – Рисунок к задаче 36
37 На однородный сплошной цилиндр массы и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы т (рисунок 22). В момент система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.
Ответ: а) ; б) .
Рисунок 22 – Рисунок к задаче 37
38 Горизонтальный тонкий однородный стержень массы т и длины может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец . В некоторый момент на конец начала действовать постоянная сила , которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота из начального положения.
Ответ: .
39 В установке, показанной на рисунке 23, известны масса однородного сплошного цилиндра т, его радиус и массы тел и . Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений вертикальных участков нити в процессе движения. Убедиться, что при .
Рисунок 23 – Рисунок к задаче 39
Ответ: , .
40 В системе, показанной на рисунке 24, известны массы тел и , коэффициент трения между телом и горизонтальной плоскостью, а также масса блока т, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент тело начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти: а) ускорение тела ; б) работу силы трения, действующей на тело за первые t секунд после начала движения.
Рисунок 24 – Рисунок к задаче 40
Ответ: а) ; б) .
41 Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен ?
Ответ: .
42 Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.
Ответ: .
43 Горизонтально расположенный однородный стержень массы и длины вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной оси , проходящей через его конец . Точка находится посередине оси , длина которой . При каком значении угловой скорости стержня горизонтальная составляющая силы, действующей на нижний конец оси , будет равна нулю? Какова при этом горизонтальная составляющая силы, действующей на верхний конец оси?
Ответ: ; .
44 Однородный цилиндр массы и радиуса (рисунок 26) в момент начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой нитей, найти: а) угловое ускорение цилиндра; б) зависимость от времени мгновенной мощности, которую развивает сила тяжести.
Ответ: а) ; б) .
45 Тонкие нити намотаны на концах однородного сплошного цилиндра массы т. Свободные концы нитей прикреплены к потолку кабины лифта. Кабина начала подниматься с ускорением . Найти ускорение цилиндра относительно кабины и силу , с которой цилиндр действует (через нити) на потолок.
Ответ: , .
46 На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано на рисунке 26. Масса катушки , ее момент инерции относительно собственной оси , радиус намотанного слоя ниток . Найти ускорение оси катушки.
Ответ: а=.
Рисунок 26 – Рисунок к задаче 46
47 Однородный сплошной цилиндр массы т лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально направленной силой (рисунок 27). Найти значения силы , при которых цилиндр будет катиться без скольжения, если коэффициент трения равен .
Рисунок 27 – Рисунок к задаче 47
Ответ: .
48 Система, состоящая из цилиндрического катка радиуса R и гири, связанных нитью, перекинутой через блок (рисунок 28) под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя. Определить ускорение центра масс катка и силу натяжения нити. Какую скорость приобретет гиря, если она опускается с высоты h? Масса цилиндра М, масса гири, массой блока пренебречь. Каток катится без скольжения
Рисунок 28 – Рисунок к задаче 48
49 На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы т. Ее момент инерции относительно собственной оси , где - числовой коэффициент, - внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен . Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой , направленной под углом к горизонту (рисунок 29). Найти: а) проекцию на ось ускорения оси катушки; б) работу силы за первые секунд движения.
Рисунок 29 – Рисунок к задаче 49
Ответ: а) ; б) .
50 Система (рисунок 30) состоит из двух одинаковых однородных цилиндров, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти ускорение оси нижнего цилиндра в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет. Ответ: .
Рисунок 30 – Рисунок к задаче 50
51 В системе, показанной на рисунке 31, известны масса т груза , масса ступенчатого блока , момент инерции последнего относительно его оси и
радиусы ступеней блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза .
Рисунок 31 – Рисунок к задаче 51
Ответ: .
52 Сплошной однородный цилиндр массы может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке массы (рисунок 32). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу которой приложили постоянную горизонтальную силу . Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти: а) ускорение точки ; б) кинетическую энергию этой системы через секунд после начала движения.
Рисунок 32 – Рисунок к задаче 52
Ответ: а) ; б) .
53 На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы и на ней однородный шар массы . К доске приложили постоянную горизонтальную силу . С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними?
Ответ: ; .
54 Сплошному однородному цилиндру массы т и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью , затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен . Найти: а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; б) полную работу силы трения скольжения.
Ответ: а) ; б) .
55 Однородный шар радиуса скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса . Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная
скорость шара пренебрежимо мала.
Ответ: .
56 Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом (под уклон). Найти максимальное значение скорости цилиндра, при котором он перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет.
Ответ: .
57 Однородный шар массы и радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Вследствие деформаций в месте соприкосновения шара и плоскости на шар при движении вправо действует равнодействующая сил реакции, как показано на рисунке 33. Найти модуль момента силы относительно центра шара, если шар, имевший в некоторый момент скорость , прошел после этого до остановки путь . Момент силы считать постоянным.
Рисунок 33 – Рисунок к задаче 57
Ответ: мН·м.
58 Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.
Ответ: .
59 Однородный шар массы скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через время после начала движения.
Ответ: .
60 Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона , если ему сообщена начальная скорость , параллельная наклонной плоскости.
61 Горизонтальная платформа массой 25кг и радиусом 0,8м вращается с частотой 18мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5кг∙м2 до 1кг∙м2.
Ответ: 23 мин -1.
62 Человек массой 60кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10мин-1, переходит к ее центру (рисунок 34). Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определите, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.
Ответ: .
Рисунок 34 – Рисунок к задаче 62