13. Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью некоторой точки О и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью . В этом случае скорость i-ой элементарной массы тела определяется формулой

_, (7.34)

где – радиус-вектор i-ой массы, проведенной из точки О (рис. 7.13).

Рис. 7.13

Кинетическая энергия i-ой элементарной массы равна

(7.35)

Возведение в квадрат (7.34) с учетом (7.35) дает

.

Просуммировав по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела:

Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

(7.36)

Сумма элементарных масс даст массу тела Следовательно, первое слагаемое равно.

Третье слагаемое в (7.36) равно , где – момент инерции тела относительно оси вращения О.

Второе слагаемое можно представить в виде , где – радиус-вектор, центра масс, проведенный из точки О.С учетом сказанного можно написать, что

В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение.

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то будет равен нулю и последняя формула упростится: , где – скорость центра масс, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение.

14. Свободные оси вращения

Существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации вращения в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями вращения (или осями свободного вращения). Можно показать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела. Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис. 7.14).

Рис. 7.14

Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения.

Вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около осей со средним моментом – неустойчивым. Так, если тело, имеющее форму параллелепипеда, подбросить, одновременно приведя его во вращение, то он, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2.