Многомерный случай

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло.

Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов (на примере двукратных интегралов)

Постановка задачи

Вычислить двукратный интеграл методом Монте-Карло

Программная реализация метода

Математическое описание метода.

Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина ξ, математическое ожидание которой равно искомой величине z, т.е.

Осуществляется серия n независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется) последовательность n случайных величин : , , …, и по совокупности этих значений приближенно определяется искомая величина, т.е.

.

Интеграл же может быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины ξ, которая определяется независимыми реализациями η_i случайной величины η с равномерным законом распределения. Двукратные интегралы вычисляются следующим образом:

, (1)

где , – независимые реализации равномерно распределенных на величин.

Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других его приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования таких чисел. В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм выработки таких чисел по мере потребности в них. Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойственными случайным числам статистическими характеристиками. То есть случайные величины, равномерно распределенные на отрезке , в ЭВМ задаются с помощью специальных программ – генераторов псевдослучайных чисел.

Алгоритм метода в программе:

1. Ввод количества испытаний n.

2. Запустить генератор случайных чисел.

3. Определение общих пределов интегрирования.

4. Случайным образом (с учетом общих пределов интегрирования) генерировать значения x и y.

5. Если значения x и y лежат в текущих пределах интегрирования, то к значению интеграла прибавить значение функции при этих значениях.

6. Пункты 4 и 5 повторить n раз.

7. Окончательно полученную сумму (из формулы 1) перемножить на оставшиеся части формулы (1) для получения значения интеграла.

Описание основных значений в программе.

n	Количество испытаний
DInt	Основная подпрограмма
F	Функция для вычисления значений точек подынтегральной функции
x, y	Аргументы функции
S	Текущее значение суммы (интеграла)
Ax, Ay, Bx, By	Пределы интегрирования
i	Счетчик

В программе MonteKarlo используются стандартные модули WinCrt, Strings. В программе MonteKarlo описан метод Монте-Карло, который осуществляется с помощью функций: function F(x,y: real): real; - расчет значения функции и function DInt(A: real; n: longint): real; - вычисление двойного интеграла.

Инструкция по работе с программой.

Для начала работы программы запустить файл MonteKarlo.pas. Код программы.

program MonteKarlo;

uses WinCrt,Strings;

{Расчет значения функции}

function F(x,y: real): real;

begin

F:= exp(x+y)+exp(x-y)*sin(x);

end;

{Подпрограма вычисления двойного интеграла}

function DInt(n: longint): real;

var

S, x, y, Ax, Ay, Bx, By: real;

i: longint;

begin

randomize;

Ax:= 0; Bx:= 4; Ay:= 1; By:=5;

S:=0;

for i:= 1 to n do begin

x:= Ax+random*(Bx-Ax);

y:= Ay+random*(By-Ay);

if ((x>=0) and (x<=4))and((y>=1) and (y<=5)) then S:= F(x,y)+S;

end;

DInt:= (Bx-Ax)*(By-Ay)*S/n;

end;

var

a: real;

n: longint;

BEGIN

StrCopy(WindowTitle, 'Программа вычисления двукратного интеграла методом Монте-Карло');

ClrScr;

WriteLn;

WriteLn(' 5 4');

WriteLn(' / / ');

WriteLn(' Интеграл | | (exp(x+y)+exp(x-y)*sin(x)dxdy');

WriteLn(' / / ');

WriteLn(' 1 0');

WriteLn;

WriteLn;

WriteLn;

Write(' Введите количество вычисляемых значений подынтегральной функции n = ');

ReadLn(n);

WriteLn;

WriteLn;

WriteLn(' Подожтите пожалуйста некоторое время, пока программа произведет расчеты...');

WriteLn;

WriteLn;

WriteLn(' Результаты расчета:');

WriteLn;

WriteLn(' Значение интеграла I = ',DInt(n):10:4);

ReadKey;

DoneWinCrt;

END.

Запустите программу меню RunRun или Ctrl+F9, перед вами появится окно:

Необходимо ввести количество испытаний n. После этого будет получен результат.

Результат программы.