Вычисление весов измерений и функций
Для облегчения совместной обработки разнородных и неравноточных результатов измерений вводится понятие веса. Весом называют степень доверия к результату, который вычисляется как величина, обратно пропорциональная к точности получения результата.
Основные формулы.
Вес
Обратный вес функции измерений, из которых зависимы
Обратный вес функции, представленной в матричном виде
Средняя квадратическая погрешность единицы веса
• по истинным ошибкам
• по истинным невязкам
• по истинным поправкам
Погрешность функции с использованием принципа равных влияний
5. Угол получен со средней квадратической погрешностью . Сколько приемов нужно сделать инструментом, дающим результат одного измерения со средней квадратической погрешностью , чтобы веса углов оказались одинаковыми?
Дано: , ,
Найти:
Решение. Запишем формулу для нахождения средней квадратической погрешности из приемов:
Также нам известно, что веса этих измерений угла должны быть одинаковы:
Откуда выразим и вычислим количество приемов:
Ответ: приемов.
30. Угол получен как среднее из углов и , которые измерены шестью и двумя приемами соответственно. Средние квадратические погрешности результата измерения угла одним приемом оказались и . Найти вес угла , приняв за единицу вес вероятнейшего угла .
Дано: , , ,
Найти:
Решение. Угол получается как среднее из суммы углов и , т.е.
Найдем частные производные от функции по и по :
Вычислим средние квадратические погрешности из приемов:
По условию дано, что вес угла равен единице, значит можно вычислить коэффициент .
Найдем вес измерения угла :
Вычислим обратные веса измерений:
Запишем уравнение для нахождения обратного веса функции и вычислим его значение:
Найдем вес угла :
Ответ: .
Дополнительные возможности при обработке косвенных измерений
1. Использование простейшего численного дифференцирования.
20. Вычислить относительную ошибку гипотенузы прямоугольного треугольника, если
, .
Дано: , , , .
Найти: .
Решение. Гипотенуза прямоугольного треугольника будет равна
Примем и . Теперь мы можем вычислить приближенные частные производные по формуле:
Причем — величина, близкая к нулю. Имеем:
Найдем частные производные (для сравнения) по параметрам и .
Вычислим относительную ошибку гипотенузы:
Ответ: .
2. Получение погрешности функции с учетом случайной и систематической погрешности.
75. Вычислить горизонтальное проложение длины измеренной линии и его среднюю квадратическую погрешность, если и , а систематические погрешности равны и .
Решение: функция измерений имеет вид
Тогда случайная средняя квадратическая погрешность измерений будет находиться по формуле
где и - частные производные функции по элементам и .
Найдём горизонтальное проложение:
Рассчитаем случайную среднюю квадратическую погрешность измерений
Теперь найдём систематическую погрешность по формуле
где и - частные производные функции по элементам и .
Теперь, зная и , найдём среднюю квадратическую погрешность функции:
Ответ: , .
3. Проектирование результатов измерений на основе сеточного метода.
20. При проектировании результатов измерений по первому принципу (равенство погрешностей измерений) требуется получить площадь прямоугольника с погрешностью при соотношении сторон и погрешности измерения стороны . Найти длины сторон прямоугольника и , удовлетворяющие поставленному условию на погрешность площади.
Дано: , ,
Найти:
Решение. Составим функцию площади прямоугольника:
Найдем частные производные по каждой из сторон:
Составим уравнение погрешности:
Построим таблицу значений средней квадратической погрешности с учетом того, что отношение сторон и равно двум.
200 |
201 |
202 |
203 |
204 |
|
100 |
4,47 |
4,49 |
4,51 |
4,53 |
4,54 |
100,5 |
4,48 |
4,49 |
4,51 |
4,53 |
4,55 |
101 |
4,48 |
4,50 |
4,52 |
4,53 |
4,55 |
101,5 |
4,49 |
4,50 |
4,52 |
4,54 |
4,56 |
102 |
4,49 |
4,51 |
4,53 |
4,54 |
4,56 |
Значит, наиболее вероятными являются значения длин ,
Ответ: , .