- •Раздел 2. Элементы векторной алгебры
- •10. Проекции вектора
- •11. Скалярное произведение Основные понятия и определения
- •Свойства скалярного произведения векторов:
- •12. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
- •Вычисление длины вектора и угла между векторами
- •14. Ориентация пространства. Правая и левая тройки веторов
- •15. Векторное произведение: определение, свойства
- •Свойства векторного произведения
- •16. Векторное произведение в ортонормированном репере
- •17. Геометрический смысл векторного произведения:
- •18. Двойное векторное произведение
- •19. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •20. Геометрический смысл смешанного произведения
- •21. Смешанное произведение в ортонормированном базисе
- •Приложения произведений векторов
16. Векторное произведение в ортонормированном репере
Даны векторы , ,
т.е. ,
Векторное произведение ортов (см. табл.)
Тогда =()()=
=
=.
. (8.10)
17. Геометрический смысл векторного произведения:
1) Площадь параллелограмма. – формула площади параллелограмма.
– модуль векторного произведения по определению.
Тогда .
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, равна модулю векторного произведения этих векторов.
,
2) Площадь треугольника: .
Площадь треугольника, построенного на векторах и как на сторонах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов.
Пример 2. Вычислим площадь грани АВС тетраэдра DАВС, если А(1;2;1), В(4;1;2), С(1;5;3), D(2;3;1).
Решение. .
Найдем координаты и , на которых построен треугольник АВС, как на сторонах: (4–1;1–2;2–1), (1–1;5–2;3–1), тогда (3;–1;1), (0;3;2).
Вычислим векторное произведение и его длину:
(–5;–6;9),
||=, (кв.ед.).
Механический смысл векторного произведения: Моментом силы относительно точки О называется вектор , имеющий начало в точке О, направленный перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой О и вектором . Длина вектора равна произведению длины вектора на плечо h – перпендикуляра, опущенного из точки о на направление вектора ) или , где – радиус-вектор точки приложения силы .
18. Двойное векторное произведение
Определение 30.
Двойным векторным произведением называется вектор .
Пример 3..
Вычислить двойное векторное произведение (1;3;5), (–1;–2;0), (0;4;3).
, .
Свойства двойного векторного произведения (со скалярным):
1. = (8.11)
2.
3. тождество Якоби.
19. Смешанное произведение векторов
Рассмотрим векторно-скалярное произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Первые два вектора умножаются векторно, а их результат на третий вектор скалярно. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов.
Определение 31.
Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов , и называется число , полученное в результате векторного произведения векторов и , умноженного скалярно на вектор .
Обозначение: = (8.12)
Из определения следует: , или , или , то (самостоятельно)
Пример 4. Вычислим смешанное произведение ортов (по определению).
.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не зависит от порядка векторного и скалярного умножения, т.е. не изменится при перестановке знаков умножения.
= (8.13)
Доказательство.
=, =, причем одного знака, так как тройки ,, и ,, – обе правые. Значит, =. Отсюда, =.
Это свойство позволяет записывать смешанное произведение векторов без знаков векторного и скалярного умножения.
2. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке множителей:
(8.14)
Доказательство. 1) ; 2) если тройка векторов ,, – правая, то тройки ,, и ,, – тоже правые.
3. Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке двух множителей:
, , (8.15)
Доказательство. самостоятельно
1) ; 2) если тройка векторов ,, – правая, то тройки , , – левые.
4. Если ()0, то тройка векторов ,, – правая; если ()0, то тройка векторов ,, – левая.
5. Теорема.
Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны
(8.16)
Доказательство.
1) Дано:. Докажем, что векторы ,, компланарны.
=SH=0 а)S=0 или б)Н=0.
а)S=0 , коллинеарны ,, компланарны;
б)Н=0 , где ,, компланарны.
2) Дано: векторы ,, компланарны. Докажем, что.
=0 .
Теорема доказана.
6. Условие компланарности трех векторов: ()=0.