![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть 2. Манипулирование и операции со знаниями.
- •7.1. Приобретение и формализация знаний.
- •7.2. Пополнение знаний.
- •7.3. Обобщение и классификация знаний.
- •8.1. Общие положения.
- •8.2. Правило вывода по принципу резолюций.
- •8.3. Дедуктивный вывод на семантических сетях.
- •9.1. Вводные определения и понятия.
- •9.2. Нечеткое множество и его характеристики.
- •9.3. Основные операции с нечеткими множествами.
- •9.4. Отношения между нечеткими множествами.
- •9.5. Нечеткий вывод в системе принятия решений.
9.3. Основные операции с нечеткими множествами.
Нечеткая логика создавалась Л. Заде [11] как расширение классической формальной логики с целью реализации моделирования явлений реального мира, которые не всегда укладываются в рамки классической логики. В основе такого расширения лежит аксиома, по которой операции формальной логики должны являться частным случаем операций нечеткой логики. На этом принципе происходит построение теоретико-множественных операций и отношений.
Дополнение
нечеткого
множества А
определяется в соответствии с определением
(9.1), где функция принадлежности
=
1 -
.
Таким образом, закон двойного отрицания
для данных нечетких логик выполняется.
Пересечение нечетких множеств А и В определяется как нечеткое множество вида:
АВ
= {(
):
},
(9.7)
где результат операции зависит от способа задания степени принадлежности
.
Наиболее распространены следующие
способы [10]:
= min
(
;
),
,
(Л. Заде, 1965); (9.8)
=
,
,
(B.M.
Pfeiffer
1996). (9.9)
Пример.
Дана предметная область Х={х;
х
;х
;х
;х
;х
},
на котором определены нечеткие множества
А={1/ х
:0,8/
х
;0,6/
х
;0,4/
х
;0,2/
х
;0/
х
}
и В={0/
х:0,2/
х
;0,4/
х
;0,6/
х
;0,8/
х
;1/
х
},
где принята запись a/x
~ (a;x).
Определим АВ,
используя (9.8),(9.9).
Согласно (9.7),(9.8) имеем:
АВ={0/
х
:0,2/
х
;0,4/
х
;0,4
/ х
;0,2/
х
;0/
х
}.
Согласно (9.7),(9.9) имеем:
АВ={0/
х
:0,16/
х
;0,24/
х
;0,24
/ х
;0,16/
х
;0/
х
}.
Как видим, результат
вычисления АВ
оказывается различным в зависимости
от принятого способа определения
,
опирающегося на субъективные соображения.
В частности, способ (9.8) рекомендуют
использовать для систем, в которых метод
обработки информации близок к логическому,
когда большинство зависимостей между
входными и выходными параметрами системы
носят детерминированный характер, т.е.
значения функций принадлежностей
параметров системы достаточно близки
к 1. Преимуществом способа (9.9) является
то, что значение
зависит от значений обеих функций
принадлежности
и
.
Поэтому потери информации здесь не так
существенны, как в способе (9.8).
Из условия
рассмотренного примера, согласно
определения дополнения, видно, что В=.
Но, как
следует из разобранного примера, в обоих
случаях А
В=
А
.
Это означает, в нечеткой логике закон
противоречия выполняется не всегда. В
то же время, как легко убедиться,
идемпотентность, коммутативность и
ассоциативность пересечения нечетких
множеств выполняются.
Объединение нечетких множеств А и В определяется как нечеткое множество вида:
АВ
= {(
):
},
(9.10)
где результат операции зависит от способа задания степени принадлежности
.
Наиболее распространены следующие
способы [10;11]:
= mах
(
;
),
;
(9.11)
=
+
-
,
.
(9.12)
Пример.
Определим АВ,
используя (9.11),(9.12) и данные предыдущего
примера.
Согласно (9.10),(9.11) имеем:
АВ={1/
х
:0,8/
х
;0,6/
х
;0,6
/ х
;0,8/
х
;1/
х
}.
Согласно (9.10),(9.12) имеем:
АВ={1/
х
:0,84/
х
;0,76/
х
;0,76
/ х
;0,84/
х
;1/
х
}.
Наличие различных
результатов при вычислении АВ
и рекомендации по практическому
применению способов (9.11), (9.12) объясняются
теми же соображениями, что и при вычислении
А
В.
Отметим, что
для данной предметной области Х
универсальное
множество имеет вид:
U
= {1/ х:1/
х
;1/
х
;1/
х
;1/
х
;1/
х
}
и, таким образом,
данные рассматриваемого примера
показывают, что АВ=
А
U,
т.е. в нечеткой логике закон исключенного
третьего, вообще говоря, выполняется
не всегда. В то же время легко убедиться,
что идемпотентность, коммутативность
и ассоциативность объединения нечетких
множеств имеют место.