19.Базис системы векторов

Базисом системы векторов A₁ , A₂ ,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂ ,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_r является одним из векторов A₁ , A₂ ,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям: 1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов; 2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ ,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.

Или

Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных. В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса : Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов. Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса. Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

20. Ранг системы векторов, размерность подпространства

Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы, т.е. рангом системы векторов является максимальное число линейно независимых векторов системы.

21. Основные свойства базиса в конечномерном пространстве

Некоторые свойства базиса :

1. Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.

2. Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.

3. Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

22.Координаты вектора.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где  — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

где

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

23. Формула преобразования координат вектора

Пусть системы векторов e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_n} — два базиса n-мерного линейного пространства L_n.

Обозначим x_e = (x₁,x₂, ..., x_n) и x_f = (x'₁,x'₂, ..., x'_n) — координаты вектора x ∈ L_n соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее x_e= C_e→f·x_f :

Здесь C_e→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f₁, ..., f_n  в базисе  e₁, ..., e_n:

f₁ = с₁₁· e₂ + с₂₁· e₁ + ... + с_n1· e_n, f₂ = с₁₂· e₁ + с₂₂· e₂ + ... + с_n2· e_n, ..., f_n = с_1n· e₂ + ... + с_nn· e_n.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

x_f= (C_e→f)^{− 1}·x_e