- •Математические модели в демографии
- •1. Ротационная динамика
- •2. Продольный анализ
- •3. Некоторые аналитические функции дожития
- •4. Дискретная модель дожития
- •5. Модель воспроизводства стабильного населения
- •Основные соотношения
- •2. Инкремент численности населения
- •3. Длина поколения
- •4. Обсуждение
- •6. Доля трудоспособного населения
- •Зависимость возрастной структуры населения от инкремента численности
- •7. Модели генетической демографии Генетические равновесия (по [1])
- •Динамика концентрации летальной аллели
- •8. Модели эпидемии
- •9. Модели миграции
- •Литература
8. Модели эпидемии
Модель распространения болезни без выздоровления («быстрая эпидемия»). Описывает ситуацию, при которой продолжительность болезни велика настолько, что при описании процесса распространения заболевания числом выздоровевших можно пренебречь.
Обозначения:
P — численность населения (константа);
P0(t) — число здоровых;
P1(t) — число больных.
Очевидно, P0(t) P1(t) P.
Процесс распространения заболевания описывается дифференциальным уравнением
Общее решение этого уравнения — логистическая функция
где постоянная C связана с начальным условием P1(0) соотношением
2. Модель распространения болезни с выздоровлением без иммунитета. В прежних обозначениях процесс распространения описывается уравнением
или
где введено обозначение
Общее решение уравнения имеет вид
где постоянная C связана с начальным условием P1(0) соотношением
3. Модель распространения болезни с выздоровлением и иммунитетом. В этом случае требуется различать изначально здоровых (не болевших), за которыми сохранится обозначение P0(t), и выздоровевших, которые будут обозначены P2(t). При любых t теперь выполняется равенство
P0(t) P1(t) P2(t) P.
Процесс распространения болезни и выздоровлений описывается системой дифференциальных уравнений
Пример
Интенсивность заражения |
0.2 |
Интенсивность выздоровления |
0.02 |
Начальное число больных |
0.005 |
не болевшие больные выздоровевшие
Численное решение дифференциальных уравнений и систем. Проще всего воспользоваться методом Эйлера. Уравнение с одной неизвестной функцией
заменяется конечно-разностным уравнением
Аналогично, система дифференциальных уравнений
заменяется системой конечно-разностных уравнений
Применительно к рассматриваемой модели эпидемии система конечно-разностных уравнений имеет вид
при начальном условии P1(0) = 0; P2(0) = 0.
9. Модели миграции
1. Рассмотрим вначале два множества (кластера), численности которых x1 и x2. Введем характеристики подвижности 1 и 2: подвижность 1 есть отношение величины потока (числа перемещающихся в единицу времени) покидающих множество 1 и направляющихся в множество 2; подвижность 2 определяется аналогично. Динамика численностей описывается дифференциальным уравнением
Ясно, что x1 + x2 N const. Равновесные численности (dx1/dt 0, dx2/dt 0):
2. Пусть число кластеров равно m, их численности xi, i 1, …, m, подвижности теперь имеют направления: ij, i, j 1, …, m, i j.
Положим
ii (1)
определим матрицу (ij)m m и вектор-строку x (xi)1 m. В этих обозначениях
.
Равновесные численности должны отвечать системе x 0; но матрица — вырожденная (1 0), и если вектор x 0 — равновесный, то и вектор kx — также равновесный при любом k 0. Поэтому система x 0 определяет лишь равновесные пропорции, а для равновесных численностей следует задать еще и общую численность
3. Помимо m множеств рассматривается еще и внешняя среда. Она предполагается «большой» в том смысле, что число объектов в ней велико (≈ ∞), подвижность в направлении рассматриваемых множеств ничтожна (≈ 0), так что к i-му кластеру направлен поток с конечной интенсивностью i , а от i-го кластера во внешнюю среду направлен поток, определяемый подвижностью i, m + 1; ни тот, ни другой поток не изменяют численности объектов во внешней среде.
С учетом обозначения (1) теперь динамика численностей описывается системой уравнений
При этом суммы в (1) должны содержать слагаемые i, m + 1. Ввод в рассмотрение вектора-строки (i)1 m позволяет описать динамику равенством
Равновесные численности теперь описываются системой + x 0.
Пример. Пусть m 3, 12 0.1, 13 0.2, 23 0.4, 24 0.3, 31 0.5; таким образом,
Входные потоки: 1 400, 3 200, так что (400, 0, 200). (Не указанные числовые значения равны нулю.) Равновесные значения численностей определяются условием
Решением этой системы уравнений служат равновесные численности
x1 1400; x2 2000; x3 7600.
Решение представлено на рисунке. Над кластерами жирным шрифтом показаны равновесные численности, над дугами показаны равновесные интенсивности потоков.